Konvergenzbereich bestimmen von Summe: (0.5x-1)^n

Question

Mal vorab, ich habe die Lösung schon, diese beträgt (0 ; 4) ich kann den Lösungsweg aber nicht nachvollziehen. der Konvergenzradius hier ist ja 1, aber laut der Lösung muss dieser 2 sein???

Und ich dachte man bestimmt einfach den Entwicklungspunkt x0 und dann als Konvergenzbereich (x0-r; x0*+r). Wäre der Entwicklungspunkt hier nicht 2??? Was mache ich hier falsch, wie kann man so einen Konvergenzbereich berechnen ohne komplizierten Umformungen, und wie passt das hier mit dem Entwicklungspunkt und dem Konvergenzradius zusammen???

∑ (0.5x-1)ⁿ

Comments

Tipp: geometrische Reihe

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warum wäre aber das hier mit dem entwicklungspunkt falsch? und warum stimmt der radius nicht überein???

Answer 1

der Konvergenzradius hier ist ja 1, aber laut der Lösung muss dieser 2 sein???

Und ich dachte man bestimmt einfach den Entwicklungspunkt x0 und dann als Konvergenzbereich (x0-r; x0*+r). Wäre der Entwicklungspunkt hier nicht 2???    Doch, ist er. Denn das Intervall (0 ; 4) hat ja in der Mitte die 2. Das passt also.

Für den Konvergenzradius hast du vermutlich alle Koeffizienten = 1 angenommen und das

gibt in der Tat einen Radius von 1.

ABER:  Wenn du es so siehst, hast du ja in Wirklichkeit die Reihe mit den Summanden 1*zn betrachtet und

(sozusagen substituiert )  z = 0,5x - 1  . Wegen Radius = 1 ergibt sich also

               -1 < 0,5x -1 < 1   | +1

<=>         0 < 0,5x  < 2      | *2

<=>         0 < x  < 4  also  x ∈ (0 ; 4)

Comments

Danke, bei dem zn meinst du da mal n oder soll das ein ⁿ sein?

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Das ist hoch n.

Answer 2

(0.5x-1)^n=1/2^n *(x-2)^n

---> r=2 , x₀=2