Extrema von mehrdim. Funktion unter NB mit Lagrange: Art der Extrema mit Satz von Weierstrass herausfinden

Question

ich habe die Funktion f(x,y,z) = x²-x+3xy-8yz+2z² mit der Nebenbedingung  y²+4y+=5

Die Extrema mit den Lagrangemultiplikatoren  konnte ich selber rausfinden. (Einmal (x,y,z) = (-1,1,2) und einmal (x,y,z) = (8,-5,-10).  Es geht jetzt noch darum das globale Minimum unter der Nebenbedingung zu finden.

Es gilt ja: f(-1,1,2) = -16 und f(8,-5,-10) = -439

Die zulässige Menge in der Aufgabe ist ja einfach y=1 und y=-5, da diese zwei Punkte die Nebenbedingung erfüllen. Zudem ist ja die Funktion f stetig und die zulässige Menge y∈{1,-5} ist kompakt. Nach dem Satz von Weierstrass müsste dann das globale Minimum bei  f(-1,1,2) = -16  liegen und das globale Maximum bei f(8,-5,-10) = -439.

Das globale Minimum stimmt laut Musterlösung, jedoch existiert laut Lösung kein globales Maximum.

Laut Weierstrass müsste ja das globale Maximum bei  f(-1,1,2) = -16   liegen, weil ja f stetig und die zulässige Menge y∈{1,-5}  kompakt ist.

Wo liegt da mein Fehler?

Answer 1

> und die zulässige Menge y∈{1,-5} ist kompakt.

Die  Menge {1,-5} ist kompakt. Aber sie ist nicht die Menge, bezüglich der das globale Maximum von f gesucht werden soll.

Das globale Maximum von f soll bezüglich der Menge

       {(x,y,z)∈ℝ³ | y∈{1,-5}}.

gesucht werden. Und diese Menge ist nicht kompakt.

> das globale Minimum bei  f(-1,1,2) = -16  liegen und das globale Maximum bei f(8,-5,-10) = -439.

Weil -16 < -439 ist? :-)

Comments

Da habe ich was verwechselt beim Minimum aber meinte natürlich den anderen Punkt mit Funktionswert -439 ;)

Aber wie sehe ich hier, dass dieser Punkt wirklich das globale Minimum ist? Weierstraß geht ja jetzt nicht mehr.

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Setze g(x,z) := f(x,1,z).

Setze h(x,z) := f(x,-5,z).

> Aber wie sehe ich hier, dass dieser Punkt wirklich das globale Minimum ist?

Zeige dass g und h nach unten beschränkt sind.

> jedoch existiert laut Lösung kein globales Maximum.

Zeige das g oder h nach oben unbeschränkt ist.

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Damit würde ich ja zeigen, dass es kein globales Maximum gibt. Das ist mir schon soweit klar das f nach oben nicht beschränkt ist.

Aber wie kann ich das Minimum nachweisen?

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Du könntest zeigen, dass g und h nach oben geöffnete elliptische Paraboloide sind.

Nach oben geöffnete elliptische Paraboloide haben Funktionsgleichungen der Form

        f(x,y) := ax² + bx + cy² + dy + e

mit a>0 und c > 0.

Alternativ könntest du die Funktionen so verschieben, dass das lokale Minimum im Ursprung liegt und dann nachweisen, das die transformierte Funktion auf den Definitionsbereich z = mx eingeschränkt für jedes m eine nach oben geöffnete Parabel ist.