Wenn \(P\) auf der Y-Achse liegt, so hat \(P\) die Koordinaten \(p_y e_y\). \(e_y\) ist der Einheitsvektor auf der Y-Achse. Wenn die Abstände zu \(A\) und \(B\) gleich sein soll, so gilt das auch für die Quadrate - man kann also schreiben
$$(A - p_y e_y)^2 = (B - p_y e_y)^2$$
$$\Rightarrow \space 2 p_y (e_y B- e_y A)= B^2 - A^2 \quad \Rightarrow p_y = \frac{B^2 - A^2}{2 (e_y B- e_y A)}$$
Jetzt ist aber \(e_y B= B_y = 1\) und \(e_y A = A_y=0\). Dann erhält man
$$p_y=\frac{(3^2+1^2+7^2)-(7^2+0^2+4^2)}{2(1 -0)}=-3$$
Der Punkt \(P\) liegt also bei \(P=(0; -3; 0)^T\).
Wahrscheinlich wollte Dein Lehrer aber einen andere Lösung von Dir. Alle Punkte, die gleich weit von \(A\) und \(B\) enntfernt sind, liegen auf einer Ebene, die durch den Mittelpunkt \(\frac{1}{2}(A+B)\) von \(A\) und \(B\) geht und auf dem Differenzvektor \(A-B\) senkrecht steht. Das lässt sich als Normalform hinschreiben
$$(A-B) \cdot x= (A-B) \cdot \frac{1}{2}(A+B) \space \Rightarrow \space \begin{pmatrix} 10\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} x =3 $$
Jetzt setze ich für \(x\) wieder das \(P\) von oben ein
$$\begin{pmatrix} 10\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ p_y\\ 0 \end{pmatrix} =3 \space \Rightarrow \space p_y=-3$$
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