Grenzwerte berechnen von oben

Question

lim(x↓-1) cos(log(1+x)) und lim(x↓0) [(tan x)/((sin x)^2)-x^x]

Ich übe gerade für eine Klausur und habe  noch Probleme beim Lösen solcher Grenzwertaufgaben. Und brauche dabei eure Hilfe.

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$$ tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} $$

\( \frac{tan(x)}{sin(x)^2} = \frac{sin(x)}{cos(x)} \cdot \frac{1}{sin(x)^2} = \frac{1}{sin(x)cos(x)} \)
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{tan(x)}{sin(x)^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{sin(x)cos(x)} = \infty  \), weil \( sin(0) = 0 \) und \( cos(0) = 1 \) ist.

Das \( \lim_{x \to 0^+} x^x = 1 \) ist beweist man doch wohl eher in einer Übung oder in der Vorlesung und dann benutzt man es einfach ... denke ich mal. Ansonsten ist  dieser Beweis im Internet leicht zu finden. Der Grenzwert ist also insgesamt \( \infty - 1 = \infty \) Müsstest Du vielleicht bloß noch formal sauberer aufschreiben als ich.

Beste Grüße
gorgar

Answer 1

im(x↓-1) cos(log(1+x))

lim x −> -1(+) [ 1 + x ] = 0(+)
log [ 0 (+) ] = - ∞
cos ( -∞ )  undefiniert

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Wie sieht es dann mit den Häfungswerten aus? Wie würde ich die bestimmen.

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Zu meinem Bedauern kann ich dir dazu
nichts sagen.
mfg Georg

Answer 2

lim_x↓-1 cos(log(1+x))

= lim_y↓0 cos(log(y))    weil lim_x↓-1 x+1 = 0 ist

= lim_z↓-∞ cos(z)    weil lim_y↓-1 log(y) = -∞ ist

existiert nicht, weil cos periodisch mit Amplitude ≠ 0 ist.

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Wie würde es dann mit den Häufungswerten  aussehen. Wie würde ich diese bestimmen?