Wie berechne ich cos ((5pi/3) *2017)?

Question

Ich muss cos ((5pi/3) *2017) ausrechnen. Laut Wolframalpha soll da 1/2 rauskommen, aber wie kommen die darauf?

Answer 1

cos ((5pi/3) *2017)

(5* pi/3)  = 5.235...
* 2017 = 10560.98...

cos (  10560.98... ) = 0.5

Answer 2

Forme den Ausdruck $\frac{5}{3}\pi \cdot 2017$ so um, dass ein Vielfaches von $2\pi$ als Summand darin vorkommt:

$$\frac{5}{3}\pi \cdot 2017= \frac{5 \cdot 2017}{3 \cdot 2} 2\pi= \frac{1680 \cdot 6 + 5}{6} 2\pi= 1680 \cdot 2\pi + \frac{5}{3}\pi$$

Und da der Cosinus eine Periode von $2\pi$ hat und somit $\cos\left( n \cdot 2\pi + x \right) = \cos\left( x \right)$ ist - ergibt sich:

$$\cos\left( \frac{5}{3}\pi \cdot 2017 \right) = \cos(1680 \cdot 2\pi +\frac{5}{3}\pi) = \cos(\frac{5}{3}\pi) = \frac{1}{2}$$