Wie Newton-Raphson-Verfahren anwenden, damit das Kurvenende die gewünschte Tangente erreicht?

Question

Ich versuche einen Algorithmus zu implementieren, der 2 Geraden mit einer Kurve verbindet.

Die Kurven sind dabei in 3 Abschnitte unterteilt: Eingangsklothoide (Länge Lc1), Konstant-Radius-Bogen (Länge La) und Ausgangsklothoide (Länge Lc2)

Die Abschnitte kann man einzeln in Abhängigkeit des zurückgelegten Weges s ausdrücken (siehe Foto 2)..

für die innere Schleife des Algorithmus muss ich zuerst Lc1 raten und die anderen Abschnitte sind über feste Konstanten mit Lc1 berechenbar

( La= K1 * Lc1 , Lc2=K2 * Lc1)

Das Problem ist nun, dass ich prüfen muss, ob die entstandene Kurve tangential zur nächsten Gerade ist. Und wenn sie es nicht ist, muss mit dem Newton- Raphson- Verfahren ein neues Lc1 geschätzt werden. In meiner Quelle steht leider keine Formel dafür dabei.... wie mache ich das?

Comments

Hallo.

an Deiner Fragestellung ist einiges nicht klar. Anscheinend ist die gesuchte Kurve nicht symmetrisch zur Winkelhalbierenden der 'Road Boundarie'; sonst wäre \(K_2=1\) - warum nicht?

Weiter ist mir nicht klar, wieso \(L_a \sim L_{c1}\) sein soll. Umso länger die Klothoide ist, umso größer ist ihre Krümmung, wenn sie in den Kreis übergeht, und desto kleiner sollte der Kreisbogen sein - oder habe ich da was falsch verstanden?

Bei dem zweitem Bild ist auch einiges unklar. Was sind \(L_1\) und \(L_s\)?

Wenn man das Newton-Raphson-Verfahren nutzt (was identisch zum Newton-Verfahren zum Finden einer Nullstelle ist), so benötigt man eine Funktion und ihre Ableitung. Bei Dir könnte das eine Funktion \(f(L_{c1})\) sein, die einen Fehler liefert (die Abweichung von der gewünschten Tangente). Und diese musst Du dann ableiten und anschießend den alten Newton anwenden - formal

$$L_{c1 (i+1)} = L_{c1(i)} - \frac{f(L_{c1(i)})}{f'(L_{c1(i)})}$$

Vielleicht hilft auch die Berechnung einer Achse mit Klothoiden als Übergangselementen weiter.

Answer 1

https://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Raphson