ich habe eine Frage zur folgenden Potenzreihe:
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $$
Laut Skript konvergiert sie. Wenn ich rechne kommt das hier raus:
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^{n} $$
Jetzt benutze ich das Quotientenkriterium:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n} \frac{\frac{1}{n}}{(1+\frac{1}{n})} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{0}{(1+0)!} = 0$$
Dadurch ist doch der Radius = 0. Oder?!?
In der Lösung geht das ganze aber gegen undendlich. Da wurde der Nenner und Zähler im Quot.-Krit. vertauscht, so dass unendlich rauskommt. Statt a_n+1/a_n wurde also a_n/a_n+1 benutzt.
$$ \frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{(n+q)!}} = \frac{(n+1)!}{n!} = \frac{n+1}{1} \xrightarrow{ N \to \infty } \infty $$
Kann das jemand nachvollziehen?
