Ungleichung lösen √{1+√x} ≥ 3/2 - √{1 - √x}

Question

Habe Probleme bei dieser Ungleichung. Kriege Sie nicht nach x aufgelöst.

Ergebnis habe ich, brauche nur den Lösungsweg.

$$\sqrt { 1+\sqrt { x }  } >=\frac { 3 }{ 2 } -\sqrt { 1-\sqrt { x }  } \quad $$

Beim Df habe ich x element [0,1] heraus.

Dann habe ich quadriert:

$$1+\sqrt { x } >=\frac { 9 }{ 4 } -3\sqrt { 1-\sqrt { x }  } +1-\sqrt { x } $$

Danach weiss ich nicht weiter.

Answer 1

Hallo Ckay,

bringe die Wurzeln auf die linke Seite und dann quadriere. Dann wende die 3. binomische Formel in der Wurzel an, die übrig bleibt.

Beste Grüße
gorgar

Answer 2

Substituiere √x=a, ordne dann, sodass eine Wurzel allein auf einer Seite und quadriere dann noch einmal. Das ergibt eine quadratische Ungleichung für a mit den Grenzen der Lösungsmenge a=±3/8√7. Resubstituiere.

Answer 3

Beide Wurzeln auf eine Seite bringen

√( 1 + √x )  +  √( 1 - √x )   ≥   3/2        quadrie≥ren

 1  + √x  + 2 * √( 1 + √x )  * √( 1 - √x )   + 1 - √x   ≥   9/4

 2   + 2 * √( 1 + √x )  * √( 1 - √x )    ≥   9/4

       2 * √( 1 + √x )  * √( 1 - √x )    ≥  1/4

       √( 1 + √x )  * √( 1 - √x )    ≥   1/8               quadrieren

            ( 1 + √x )  *( 1 - √x )    ≥   1/64     3. binomi. Formel

                    1 - x   ≥   1/64 

                     63/64     ≥   x

 

Answer 4

Ich würde einfach weiterrechnen :
$$ 1+\sqrt { x } \geq \frac { 9 }{ 4 } -3\sqrt { 1-\sqrt { x }} +1 -\sqrt { x }$$
$$ 2\sqrt { x } -\frac { 9 }{ 4 }\geq -3\sqrt { 1-\sqrt { x }}$$
$$ 4x-9\sqrt { x }+\frac { 81}{ 16 }  \geq 9(1-\sqrt { x })                                         $$
 \( 9\sqrt { x } \) fliegt raus und du kannst nach x auflösen

Comments

Def Bereich x = [ 0 ; 1 ]
In der 2.Zeile stehen links und rechts
2 negative Terme:
Durch das Quadrieren dreht sich das
Relationszeichen.
Beispiel
-2 > -3  | hoch 2
4 > 9  ( falsch )
richtig
4 < 9

mfg Georg