Ungleichung: √[1 + √(x) ] ≥ 3/2 - √[ 1 - √(x) ]

Question

√[1 + √(x) ]  ≥  3/2 - √[ 1 - √(x) ]

Wie könnte man diese Aufgabe angehen?

Ich habe mir schonmal überlegt das x ≥ 0 sein sollte und kleiner 1, also sollte schonmal folgende Grundbedingung erfüllt ein:

0 ≤ x < 1

Allerdings weiß ich nun nicht wie ich die Rechnung bzw. die Fälle aufstellen soll, könnte man da erst etwas vereinfachen, z.B. mittels Quadrierung der äußeren Wurzeln? Leider kam ich bei solchen Versuchen nicht zu sinnvollen Ergebnissen.

Das Endergebnis soll folgender Interval sein: [0 ; 63/64]

Comments

edit: 0 ≤ x ≤ 1

die 0 in der rechten äußeren Wurzel wäre doch erlaubt. :)

Answer 1

√(1 + √x) ≥ 3/2 - √(1 - √x)

√(1 + √x) + √(1 - √x) ≥ 3/2

Ich quadriere mal beide Seiten

2·√(1 - x) + 2 ≥ 9/4

2·√(1 - x) ≥ 1/4

√(1 - x) ≥ 1/8

Nochmal quadrieren

1 - x ≥ 1/64

x ≤ 63/64

Comments

könntest du mir den Schritt mit der Quadrierung nochmal ausschreiben?

Wenn ich das mache, kommt bei mir folgendes zustande:

√(1 + √x) + √(1 - √x) ≥ 3/2   #Beide Seiten quadrieren

=> [ √(1 + √x) + √(1 - √x) ]² ≥ [3/2]²  #Quadrat in die Wurzeln "hineinziehen"

=> [√(1 + √x)]² + [√(1 - √x)]² ≥ 9/4 #Nun fallen die äußeren Wurzeln weg und ich muss daraus Beträge machen

=> |1 + √x| + |1 - √x| ≥ 9/4

=> 1 + √x  +  1 - √x ≥ 9/4

=> 2 ≥ 9/4

aber irgendwas habe ich da wohl beim "hineinziehen" des Quadrats missverstanden?

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Oh, eine Sache habe ich nun schon herausgefunden, man muss es als "umgekehrtes" Binom betrachten... allerdings habe ich dann nach der Quadrierung:

=> [√(1 +√x)]² +2√(1 +√x)(1 -√x) +[√1 -√x]² ≥ 9/4

=> 1 +√x +2√(1 + √x)(1 - √x) +1 -√x ≥ 9/4

=> 2 +2√(1 +√x)(1 -√x) ≥ 9/4

=> 2√(1 +√x)(1 -√x) ≥ 1/4

... woran erkenne ich aber nun das ich dies in 2√(1 -x) umformen kann? :(

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Hinter (1 + √x)(1 - √x) verbirgt sich die dritte binomische Formel (a + b)(a - b).