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ich muss folgende Ungleichung beweisen:

$$\sqrt { xy } >=\quad \frac { 2 }{ \frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ y }  }$$

Kann mir jemand eventuell einen Gedankenanstoß geben? Quadrieren scheint nicht zielführend zu sein.

Danke.

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Titel: Ungleichung beweisen Hilfe

Stichworte: ungleichung,beweis

beweisen sie für positive reelle Zahlen:

√a·b ≥ 2/ (1/a+1/b)

es ist . Danke

4 Antworten

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Hallo Gast bh8244! :-)
Quadrieren an der richtigen Stelle hilft:

$$ \sqrt{xy}  \geq \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} = \frac{2xy}{x+y} \ \ \ \bigg \vert ^2\\  xy \geq \frac{4x^2y^2}{(x+y)^2}  \\(x+y)^2 \geq 4xy \\x^2 + 2xy + y^2 \geq 4xy \\x^2 -2xy + y^2 \geq 0 \\(x-y)^2 \geq 0$$

Beste Grüße
gorgar

Avatar von 11 k
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√(a·b) ≥ 2/(1/a + 1/b)

√(a·b) ≥ 2/((a + b)/(a·b))

√(a·b) ≥ 2·a·b/(a + b)

(a + b)·√(a·b) ≥ 2·a·b

(a + b)^2·(a·b) ≥ 4·a^2·b^2

(a + b)^2 ≥ 4·a·b

a^2 + 2·a·b + b^2 ≥ 4·a·b

a^2 - 2·a·b + b^2 ≥ 0

(a - b)^2 ≥ 0

Das geht bestimmt noch einfacher.

Avatar von 487 k 🚀
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√a·b ≥ 2/ (1/a+1/b) für pos. reelle Zahlen a und b.

√a·b ≥ 2ab/ (b+a)

√a ≥ 2a/ (b+a) Für b nahe Null müsste gelten

√a ≥ 2a/ a oder √a≥2

Wähle also b = 0,1 und a=1, dann siehst du, dass die Ugleichung

√a·b ≥ 2/ (1/a+1/b) für pos. reelle Zahlen a und b nicht immer stimmt.

Avatar von 123 k 🚀

Das ist nicht richtig, die Wurzel geht über a und b.

So steht es aber nicht in der Aufgabe. Was da nicht richtig ist,ist die Klammerung des Radikanden. Also ist dies ein Kommentar zur Aufgabe und nicht zu meiner Lösung.

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