Ungleichung beweisen auf R+. √(xy) ≥ 2/ (1/x+1/y)

Question

ich muss folgende Ungleichung beweisen:

$$\sqrt { xy } >=\quad \frac { 2 }{ \frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ y }  }$$

Kann mir jemand eventuell einen Gedankenanstoß geben? Quadrieren scheint nicht zielführend zu sein.

Danke.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Ungleichung beweisen Hilfe

Stichworte: ungleichung,beweis

beweisen sie für positive reelle Zahlen:

√a·b ≥ 2/ (1/a+1/b)

es ist . Danke

Answer 1

Hallo Gast bh8244! :-)
Quadrieren an der richtigen Stelle hilft:

$$ \sqrt{xy}  \geq \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} = \frac{2xy}{x+y} \ \ \ \bigg \vert ^2\\  xy \geq \frac{4x^2y^2}{(x+y)^2}  \\(x+y)^2 \geq 4xy \\x^2 + 2xy + y^2 \geq 4xy \\x^2 -2xy + y^2 \geq 0 \\(x-y)^2 \geq 0$$

Beste Grüße
gorgar

Answer 2

√(a·b) ≥ 2/(1/a + 1/b)

√(a·b) ≥ 2/((a + b)/(a·b))

√(a·b) ≥ 2·a·b/(a + b)

(a + b)·√(a·b) ≥ 2·a·b

(a + b)^2·(a·b) ≥ 4·a^2·b^2

(a + b)^2 ≥ 4·a·b

a^2 + 2·a·b + b^2 ≥ 4·a·b

a^2 - 2·a·b + b^2 ≥ 0

(a - b)^2 ≥ 0

Das geht bestimmt noch einfacher.

Answer 3

Dringend? Am Samstagnachmittag?

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Root-Mean_Square-Arithmetic_Mean-Geometric_Mean-Harmonic_mean_Inequality

Answer 4

√a·b ≥ 2/ (1/a+1/b) für pos. reelle Zahlen a und b.

√a·b ≥ 2ab/ (b+a)

√a ≥ 2a/ (b+a) Für b nahe Null müsste gelten

√a ≥ 2a/ a oder √a≥2

Wähle also b = 0,1 und a=1, dann siehst du, dass die Ugleichung

√a·b ≥ 2/ (1/a+1/b) für pos. reelle Zahlen a und b nicht immer stimmt.

Comments

Das ist nicht richtig, die Wurzel geht über a und b.

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So steht es aber nicht in der Aufgabe. Was da nicht richtig ist,ist die Klammerung des Radikanden. Also ist dies ein Kommentar zur Aufgabe und nicht zu meiner Lösung.