DGL Partikuläre Lösung: y´=y-x

Question

Folgende Funktion:

y´=y-cos(x)-x

Gesucht ist eine spezielle Lösung von y.

Den 1. Teil, also den zu -cos(x) hab ich schnell ermittelt. Dieser ist ja -1/2sin(x)+1/2cos(x)

Für den zweiten Teil, das -x habe ich den Ansatz:

Ypart=Ax+B

Y´= A = y-x = Ax+B-x

Wie finde ich jetzt A und B? Ich komme grade leider einfach nicht drauf, habe heute wohl schon zu viel gelernt :D

Ich hoffe einer von euch kann mir hier schnell helfen :D

Comments

Mithilfe eines Koeffizientenvergleichs.

Answer 1

y´=y-cos(x)-x

y´-y =-cos(x)-x

-------->y*-y= 0 -------->y_h=C₁ e^x

yp=  A sin(x) +B cos(x) +Cx+D

yp'= A cos(x) - B sin(x) +C

---->in die Aufgabe eingesetzt:

A cos(x) - B sin(x) +C -(A sin(x) +B cos(x) +Cx+D)= -cos(x)-x

A cos(x) - B sin(x) +C -A sin(x) -B cos(x) -Cx-D= -cos(x)-x

--------->Koeffizientenvergleich:

cos(x):  A -B=-1 ->B=1/2 ; A=-1/2

sin(x):  -A-B= 0

x^1 :     -C=-1 ------>C=1

x^0:       C  -D =0 ->D=1

---------->

y_p= -1/2 sin(x) +1/2 cos(x) +x+1

Lösung:

y= y_h +y_p