0 Daumen
1,6k Aufrufe

Huhu liebe Mathefreunde,

morgen steht die Klausur an und ich habe gerade durch Zufall noch Aufgaben gefunden, die vom best-Buddy unseres Profs vor einem Jahr hochgeladen wurden, leider ohne Musterlösung!

Reicht es hier zu sagen: "Folgt direkt aus Umgekehrter Dreiecksungleichung"? Das folgt doch wirklich direkt, oder wie krieg ich das Infimum da raus?
LG

Bild Mathematik

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen

Wir haben dass d(x,A)=infaAd(x,a)d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a) Also für jedes a ∈ A haben wir dass d(x,A)d(x,a)d(x,A)\leq d(x,a)


Seien x,y ∈ X. Für jedes a ∈ A haben wir folgendes:


Von der Dreiecksungleichung haben wir dass d(x,A)d(x,a)d(x,y)+d(y,a)d(x,A)\leq d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a) Diese Ungleichung gilt auch für das Infimum der rechten Seite, wir haben dann also folgendes: d(x,A)d(x,y)+infaAd(y,a)=d(x,y)+d(y,A)d(x,A)\leq d(x,y)+\inf_{a\in A}d(y,a)=d(x,y)+d(y,A)Davon bekommen wir dass d(x,A)d(y,A)d(x,y)     (1)d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y) \ \ \ \ \ (1)


Von der Dreiecksungleichung haben wir auch dass d(y,A)d(y,a)d(y,x)+d(x,a)d(y,A)\leq d(y,a)\leq d(y,x)+d(x,a) Diese Ungleichung gilt auch für das Infimum der rechten Seite, wir haben dann also folgendes: d(y,A)d(y,x)+infaAd(x,a)=d(y,x)+d(x,A)d(y,A)\leq d(y,x)+\inf_{a\in A}d(x,a)=d(y,x)+d(x,A) Davon bekommen wir dass d(x,y)=d(y,x)d(x,A)d(y,A)     (2)-d(x,y)=-d(y,x)\leq d(x,A)-d(y,A) \ \ \ \ \ (2)


Von den zwei Ungleichungen (1) und (2) haben wir dass d(x,y)d(x,A)d(y,A)d(x,y)d(x,A)d(y,A)d(x,y)-d(x,y)\leq d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y) \Rightarrow |d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y)

Avatar von 6,9 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen