Wir haben dass d(x,A)=a∈Ainfd(x,a) Also für jedes a ∈ A haben wir dass d(x,A)≤d(x,a)
Seien x,y ∈ X. Für jedes a ∈ A haben wir folgendes:
Von der Dreiecksungleichung haben wir dass d(x,A)≤d(x,a)≤d(x,y)+d(y,a) Diese Ungleichung gilt auch für das Infimum der rechten Seite, wir haben dann also folgendes: d(x,A)≤d(x,y)+a∈Ainfd(y,a)=d(x,y)+d(y,A)Davon bekommen wir dass d(x,A)−d(y,A)≤d(x,y) (1)
Von der Dreiecksungleichung haben wir auch dass d(y,A)≤d(y,a)≤d(y,x)+d(x,a) Diese Ungleichung gilt auch für das Infimum der rechten Seite, wir haben dann also folgendes: d(y,A)≤d(y,x)+a∈Ainfd(x,a)=d(y,x)+d(x,A) Davon bekommen wir dass −d(x,y)=−d(y,x)≤d(x,A)−d(y,A) (2)
Von den zwei Ungleichungen (1) und (2) haben wir dass −d(x,y)≤d(x,A)−d(y,A)≤d(x,y)⇒∣d(x,A)−d(y,A)∣≤d(x,y)