Anwendung der Umgekehrten Dreiecksungleichung

Question

Huhu liebe Mathefreunde,

morgen steht die Klausur an und ich habe gerade durch Zufall noch Aufgaben gefunden, die vom best-Buddy unseres Profs vor einem Jahr hochgeladen wurden, leider ohne Musterlösung! 

Reicht es hier zu sagen: "Folgt direkt aus Umgekehrter Dreiecksungleichung"? Das folgt doch wirklich direkt, oder wie krieg ich das Infimum da raus?
LG

Answer 1

Wir haben dass $$d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)$$ Also für jedes a ∈ A haben wir dass $$d(x,A)\leq d(x,a)$$ 

Seien x,y ∈ X. Für jedes a ∈ A haben wir folgendes: 

Von der Dreiecksungleichung haben wir dass $$d(x,A)\leq d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)$$ Diese Ungleichung gilt auch für das Infimum der rechten Seite, wir haben dann also folgendes: $$d(x,A)\leq  d(x,y)+\inf_{a\in A}d(y,a)=d(x,y)+d(y,A)$$Davon bekommen wir dass $$d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y) \ \ \ \ \ (1)$$ 

Von der Dreiecksungleichung haben wir auch dass $$d(y,A)\leq d(y,a)\leq d(y,x)+d(x,a)$$ Diese Ungleichung gilt auch für das Infimum der rechten Seite, wir haben dann also folgendes: $$d(y,A)\leq  d(y,x)+\inf_{a\in A}d(x,a)=d(y,x)+d(x,A)$$ Davon bekommen wir dass $$-d(x,y)=-d(y,x)\leq d(x,A)-d(y,A) \ \ \ \ \ (2)$$ 

Von den zwei Ungleichungen (1) und (2) haben wir dass $$-d(x,y)\leq d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y) \Rightarrow |d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y)$$