Ungleichheit mit Körperaxiomen beweisen

Question

Zu zeigen mithilfe der Körperaxiome, Anordnungsaxiome und Kompatibilität von ( < und +, < und * ) dass gilt:

{ x ∈ ℝ \{0} | x + 3*x^(-1) + 4 ≥ 0 } = { x ∈ ℝ \{0} | -3 ≤ x ≤ -1 ∨  x > 0 }

Ich habe probiert "gleichnahmig" machen probiert, mit x oder 1/x zu multiplizieren etc. Kann man die Aufgabe durch Umformen lösen und muss man Argumentieren?

Danke

Answer 1

Das Argumentieren geschieht hier durch Umformungen, die

auf der Gültigkeit der Körperaxiome etc. beruhen.

Etwa so:   Sei x aus M2 (Das soll die "rechte" Menge sein ). Dann gilt 

-3 ≤ x ≤ -1 ∨  x > 0

1, Fall:   x > 0 dann ist auch x^-1 > 0 (Habt ihr vielleicht schon mal aus den Axiomen hergeleitet.)

Also , wegen 3 > 0 auch    3*x^(-1) > 3*0   ==>      3*x^(-1)   > 0 

Dann mit der Verträglichkeit von Addition und Ordnung    x +  3*x^(-1)   > 0  

und weil auch 4 > 0 gibt das            x + 3*x^(-1) + 4 > 0   also hat man

x ∈ ℝ \{0}            und   x + 3*x^(-1) + 4 ≥ 0 ,   also    x aus M1.

2. Fall:    -3 ≤ x ≤ -1   Dann wieder mit den einschlägigen Axiomen 

argumentieren, dass die Umformungen korrekt sind

     (-3)^-1  ≤ x^-1  ≤ (-1)^-1     also insbesondere   x^-1 

Verträglichkeit mit "plus" und     3^-1 > 0 etc. gibt   mit  #

    -3 +   (-3)^-1   ≤    x + x^-1   ≤ -2    also 

  1 +   (-3)^-1     ≤     x + x^-1  +  4     ≤   2 

wegen    (-3)^-1   >  -1   also     x + 3*x^(-1) + 4 > 0  .

also hat man

x ∈ ℝ \{0}            und   x + 3*x^(-1) + 4 ≥ 0 ,   also    x aus M1.

Dann das Entsprechende umgekehrt.             

  

                       

Comments

Danke. Ich habe die ganze Zeit probiert, das 1. in das 2. zu überführen. Jetzt ist es klar

Answer 2

> Kann man die Aufgabe durch Umformen lösen ...

Ja.

> ... und muss man Argumentieren?

Ja. Das ergibt sich aus der Anweisung "Zu zeigen".

> Ich habe probiert "gleichnahmig" machen

Das gehört nicht zu den Körperaxiomen, Anordnungsaxiomen und Kompatibilität der kleiner-Relation.

Das heißt nicht, dass du nicht gleichnamig machen darfst, sondern nur, dass du begründen musst, warum du erweitern darfst. Erweitern heißt ja, dass

        a·b^-1 = (a·c) · (b·c)^-1

ist. Mit den Körperaxiomen kommt man ziemlich schnell dahin, dass

        a·b^-1 = (a·c) · (b^-1·c^-1)

ist. Da fehlt dann aber noch, das (b·c)^-1 = b^-1·c^-1 ist. Solche und ähnliche Aussagen (0·a = 0, -a = -1 · a etc.) wurden im Laufe der Veranstaltung schon mittels Körperaxiomen, Anordnungsaxiomen und Kompatibilität der kleiner-Relation bewiesen und die darfst du dann natürlich auch verwenden. Wurden keine deartigen aussagen bewiesen, dann halte ich die Aufgabe für unangemessen umfangreich.