Stochastik: Welcher Typ Aufgabe ist das, und unter welchem Schlagwort muss ich nachschauen? Freiwürfe

Question

Aufgabenstellung

Zwei Basketballspielerinnen B und C trainieren Freiwürfe. B trifft durchschnittlich mit 2 von 3 Bällen.

a) B wirft dreimal hintereinander auf den Korb. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt sie genau einen Treffer. 
Das habe ich mit einem Baumdiagramm lösen können.

b) Wie viele Male muss C mindestens auf den Korb werfen um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99.9% einmal zu treffen?

c)  B und C werfen je drei mal auf den Korb. Wie gross ist die Wahrscheinliochkeit dasss B mehr treffer als C erzielt ?

Problem
Habe keine Ahnung wie man die Aufgabe b) löst, die Lösung sagt etwas mit: 1-(3/5)^{n} > 0.999 und dann nach n auflösen. 
Unter welchem Thema muss ich das nachlernen?
Wie heisst dieses Löisungsverfahren?
Die gleiche Frage gilt für c obwohl ich glaube, dass c per Baumdiagramm lösbar sein wird...
 
(Unser Abi-Niveau geht nicht weiter als bedingte Wahrscheinlichkeit...)

Answer 1

Hallo limonade,

die \(a.)\) kannst Du mit einer Bernoulli-Kette lösen. \(B\) trifft mit \(p=\dfrac{2}{3}\). Wenn \(B\) genau einmal treffen soll, liegt die Wahrscheinlichkeit bei \(P(X=1)=\binom{3}{1}\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^1\cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^2\). Mit einem Baumdiagramm sollte das aber auch gehen. Zu empfehlen ist dieser Weg jedoch nicht!

Mit den vorliegenden Informationen ist die \(b.)\) in meinen Augen nicht lösbar, da Du nicht weißt, mit welcher Wahrscheinlichkeit \(C\) trifft. Der Lösung nach zu urteilen trifft \(C\) vermutlich \(2\) von \(5\) Bällen im Durchschnitt (hast Du das eventuell vergessen in den Aufgabentext zu übernehmen)? \(C\) trifft also mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\dfrac{3}{5}\) nicht. \(P(C\text{ trifft})\) ist dasselbe wie \(1-P(C\text{ trifft nicht})\). Dieses Experiment wird so oft (\(n\) mal) wiederholt, bis \(C\) zu \(99.9\%\) einmal trifft. Wir berechnen also $$1-\underbrace{\left(\dfrac{3}{5}\right)\cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)\cdot \dots\cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)}_{n\text{ mal}} $$ und prüfen, wann das \(\geq 99.9\%\) ist. Dazu bestimmst Du das \(n\) mit der Ungleichung $$1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^n\geq0.999$$ Das Ergebnis muss ganzzahlig sein, da \(n\in\mathbb{N}\) (also geeignet runden!).

Als Themen solltest Du Dir anschauen: Bernoulli-Kette, Gegenwahrscheinlichkeiten, Baumdiagramme

Hilft Dir das?

André

Comments

Hey mega gute Erklärung, leider bin ich aber nicht so weit, alles zu verstehen. Irgendwie sah die Aufgabe auf dem ersten Blick so aus, wie "Wachstumsprozesse". Ich habe mir gemerkt, dass as "hoch-n" beschreibt, wieviele male man einen Versuch unternehmen muss um eine Gewisse Wahrscheinlichkeit zu erreichen. 

a) Es ist mega strange, da wir die Bernullikette nicht bearbeitet haben im Unterricht. Sieht aber irgendwie einfacher und übersichtlicher aus, als mit dem Baumdiagramm. 

b) Stimmt, C trifft 2 von 5 Bällen. 

Super, also ich hoffe ich finde irgendwo etwas gutes zur Bernoulli-Kette !  Hast du eine Empfehlung dafür auf Niveau Grundkurs Mathematik ?
Gegenwahrscheinlichkeiten hatten wir, das war doch: 

$$P(E)+P(\bar { E } )\quad =\quad 1\\ P(E)\quad =\quad 1-P(\bar { E } )\\ P(\bar { E } )\quad =\quad 1-P(E)\quad $$

Diese Informationen kann man Beispielsweise gut in einem Baumdiagramm benutzen. 

Baumdiagramme hatten wir, aber diese sollte ich doch noch üben. 

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\(a.)\) Dass ihr keine Bernoulli-Ketten durchgenommen habt und dann so eine Aufgabe vorgesetzt bekommt, ist keine didaktische Meisterleistung. Außer er möchte, dass ihr erkennt, dass Baumdiagramm zu malen nicht immer sinnvoll ist und es einer alternativen Herangehensweise bedarf.

Zur Bernoulli-Kette kann ich folgende Videos empfehlen:

https://www.youtube.com/watch?v=qRkUCU7oJ34

Deine Interpretation der Gegenwahrscheinlichkeit und ihre Anwendung ist richtig.

André

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Vielen, vielen Dank savest8 ! :) :) :)

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Darf ich eine fremde, etwas einfachere Matheseite hier verlinken bzw. posten damit mir jemand sagen kann auf welche "Unterthemen" ich klicken soll um eben dies obige zu auf eben dieser Seite zu lernen erlernen?

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Ja. Brauchst auch nur die Seite sagen.

Wenn du mit der klar kommst haben die das ja vielleicht. Ansonsten kann ich dir auch youtube-Videos empfehlen.

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Das wäre die Seite Mathebibel, wir müssen für die Abschlussprüfung die Wahrscheinlichkeitsrechnung bis zur Bedingten Wahrscheinlichkeit können, und eben heute kam die Bernoullikette die ich auch können muss. :-)

Die Idee ist, dass ich mir so repetierungsmässig eine Übersicht über die wichtigsten sachen der Wahrscheinlichkeitsrechnung verschaffe und danach Aufgaben löse und mit youtube arbeite.

Ich habe heute wieder Aufgaben gelöst und wusste nicht wie ich zum Beispiel einfache sachen lösen kann wie P(AuB) also die Wahrscheinlichkeit von zwei Ereignissen mit einer Schnittmenge ausrechne. :-(

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Auf Mathebibel hab ich das leider nicht gefunden.

Sieht so aus als wenn es dort die Binomialverteilung. Bernoulli-Kette und so nicht gibt :(

Ich habe dir unten die Seite von Serlo verlinkt mit aufgaben dazu.

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Wow! Vielen, vielen Dank Mathecoach du bist so gut !

Answer 2

Ich nenne den Aufgabentyp mind. 3 mal mind. Aufgaben.

Das geht unter anderem mit der Binomialverteilung

P(X >= 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (n über 0) * p^0 * (1 - p)^{n - 0} = 1 - (1 - p)^n >= P

1 - P >= (1 - p)^n

(1 - p)^n <= 1 - P

n >= LN(1 - P) / LN(1 - p)

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Hier eine Seite mit weiteren schönen Aufgaben

https://de.serlo.org/mathe/stochastik/wichtige-modelle-verteilungen/bernoulli-kette-binominalverteilung/aufgaben-bernoulli-kette-binomialverteilung