Konservendose von 1 Liter dimensionieren (Volumen-Minimierung Extremwertaufgabe)

Question

Wie soll man eine Konservendose von 1 Liter dimensionieren, damit zu ihrer Herstellung wenig Material gebraucht wird? (Falze bleiben unberücksichtigt.)

Arbeiten Sie zuerst mit einem allgemeinen Volumen V und setzen sie erst dann den für V gegebenen Wert ein !

Answer 1

Man weiß das eine Dose mit gegebenem Inhalt deine minimale Oberfläche hat, wenn der Durchmesser der Dose gleich der Höhe ist.
Das kann aber auch gezeigt werden

V = pi·r^2·h
h = v/(pi·r^2)

O = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·h

Hier setzen wir die 1. Gleichung ein

O = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·v/(pi·r^2)
O = 2·pi·r^2 + 2·v/r
O' = 4·pi·r - 2·v/r^2 = 0
2·pi·r^3 - v = 0
r = (v/(2·pi))^{1/3}

h = v/(pi·((v/(2·pi))^{1/3})^2) = (4·v/pi))^{1/3} = 2·r