Untersuchen Sie das uneigentliche Integral auf Konvergenz: ∫ sin(x)/x dx

Question

Wie löst man das?

$$\int _{ 0 }^{ \infty  }{ \frac { sin(x) }{ x }  } dx$$

mit partieller Integration kommt man auf:

$$-\frac { cos(x) }{ x } -\int _{ 0 }^{ \infty  }{ \frac { cos(x) }{ { x }^{ 2 } }  } dx$$

Was nun? Ich denke, dass $$-\frac { cos(x) }{ x }$$ beim 0 einsetzen rausfällt, aber was mach ich damit?

$$-\int _{ 0 }^{ \infty }{\frac { cos(x) }{ { x }^{ 2 } }  } dx$$

Comments

Erst denken, dann rechnen. Formuliere erstmal die Problematik bei diesem Integranden und dem angegebenen Integrationsintervall.

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meinst du dass cos gegen unendlich <= 1 ist?

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Also dann würde da so was kommen...

$$=-\int _{ 0 }^{ \infty }{\frac {1}{ { x }^{ 2 } }  } dx$$

Was nun? Was ist mit den Intervallen?ich weiß grad nicht, was du genau meinst

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"Untersuchen sie das uneigentliche Integral auf Konvergenz"

Frage Nr. 1: Warum ist das Integral uneigentlich?

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weil ich keine 0 einsetzen kann da dann 1/0 kommt und das heißt uneigentliches integral

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Das Integral ist uneigentlich, weil erstens der Integrand bei x=0 eine Singularitaet hat und zweitens das Integrationsintervall nicht beschraenkt ist.

Frage Nr. 2: Wie ist das Integral in so einem Falle definiert?

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wie wärs damit?

$$-\frac { cos(x) }{ x }-\int _{ 0 }^{ r }{\frac { cos(x) }{ { x }^{ 2 } }  } dx$$

∞ = r;

$$=-\frac { cos(r) }{r }-\int _{ 0 }^{ r }{\frac { cos(x) }{ { x }^{ 2 } }  } dx$$

geh ich jetzt in die richtige richtung?... was meist und mit wie ist das integral definiert? in welchem bereich ist das deffiniert? oder was meinst du? es ist zwischen 0 und unendlich deffiniert wobei wir bei 0 eine lücke haben und gegen unendlich können wir nicht integrieren weshalb ich jetzt unendlich mit einer variable ersetzt habe. 

aber ich weiß immernoch nicht weiter...

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https://de.wikipedia.org/wiki/Uneigentliches_Integral#Integrationsbereich_mit_zwei_kritischen_Grenzen

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Achso ok ich brauch eine zwischengrenze...

$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { sin(x) }{ x } +\int _{ 1 }^{ \infty  }{ \frac { sin(x) }{ x }  }  } $$

$$=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { sin(x) }{ x }}+(-\frac { cos(x) }{ x } -\int _{ 1 }^{ \infty  }{ \frac { cos(x) }{ { x }^{ 2 } }  } dx)$$

da cos(x) immer <= 1 ist:

der 2. Teil ist partiell integriert worden und ich habe schon die grenzen eingesetzt...

$$=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { sin(x) }{ x }}+0-(-\frac { cos(1) }{ 1 } -\int _{ 1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } }  } dx)$$

Der Teil mit $$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { sin(x) }{ x }}$$ ist mir noch unklar... und muss ich den letzen Teil auch noch integrieren oder kann man jetzt schon was daraus schließen?

Answer 1

Ich kann Dir verraten, dass das Integral konvergiert (sogar der Wert ist bekannt).

Bisher ist nur herausgekommen, dass man die beiden Integrale $$I_1=\int_0^1\frac{\sin x}{x}\,dx$$ und $$I_2=\int_1^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx$$ getrennt auf Konvergenz zu untersuchen hat. Fuer \(I_1\) ist zu pruefen, ob $$(1)\qquad\lim_{a\to0+}\int_a^1\frac{\sin x}{x}\,dx$$ existiert, und für \(I_2\), ob $$(2)\qquad\lim_{b\to\infty}\int_1^b\frac{\sin x}{x}\,dx$$ existiert.

Geloest hast Du die Aufgabe genau dann, wenn Du zu diesen zwei Punkten eine qualifizierte Antwort formuliert hast.

Punkt (1) geht wie bei Deiner anderen Aufgabe hier: https://www.mathelounge.de/464358/untersuchen-folgenden-uneigentlichen-integrale-konvergenz

Fuer Punkt (2) ist $$\int_1^b\frac{\sin x}{x}\,dx=-\frac{\cos x}{x}\Bigg\vert_1^b+\int_1^b\frac{\cos x}{x^2}\,dx$$ hilfreich, was Du so aehnlich (aber grob falsch notiert) schon angegeben hattest.