Folgen konvergent oder divergent? Grenzwert? a_(n):= sin(15n^5 - 18n^2 + n) / ((cos(15n^3 - 18n^2) + n)

Question

Wie löst man folgenden Grenzwert?

$$a _ { n } = \frac { \operatorname { sin } ( 15 n ^ { 3 } - 18 n ^ { 2 } + n ) } { \operatorname { cos } ( 15 n ^ { 3 } - 18 n ^ { 2 } ) + n }$$

Comments

Schätze die Folge ab und verwende das Sandwich Lemma.

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Kann jemand das vielleicht vor machen?         

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EDIT: Wenn du nichts anderes angibst, handelt es sich um eine Folge und nicht etwa um eine Reihe. Ich habe das zur Präzisierung bei Tags und Überschrift ergänzt.

Answer 1

Hallo Probe,

die Zähler aller Folgenglieder liegen im Intervall [-1 ; 1]

der Zähler von a_n  ist also beschränkt.

Da auch   -1  ≤  cos(15n^3-18n^2)  ≤ 1  gilt,  folgt für den Nenner

   cos(15n^3-18n^2)  +  n     →  ∞      für   n →∞

Deshalb:

lim_n-> ∞  an  =  lim_n→∞  Zähler / Nenner   =   " beschränkt / ∞ "   =  0  

Gruß Wfgang

Comments

Ich brauche hier noch Hilfe.

Es gilt folgendes:

y<= I a_n-0 I <=x

Wie bestimmt man x und y? Also das sollen die Schranken sein..

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Da der Grenzwert 0 ist  und  |a₁| = | - SIN(2)/(COS(3) + 1) |  ≈ 90.86156560  wegen des Anwachsens des Nenners eine obere Schranke für |a_n|  sein muss, ist wohl

0  ≤  |a_n - 0|  ≤  | - SIN(2)/(COS(3) + 1) |     gemeint

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Die rechte Schranke soll glaub ich 1/n sein...

Kannst du das erklären?

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|Bruch|  hat den maximalen Wert, wenn |Zähler| den maximalen und  |Nenner| den minimalen Wert hat.

Der |Zähler| könnte maximal 1, der jeweilige |Nenner| minimal n - 1 werden. Das ergäbe dann 1/(n -1).

Das würde dann für einzelne Folgenglieder gelten und macht Sinn, wenn man zu ε ∈ ℝ⁺ ein passendes N(ε) für einen GW-Beweis finden will. Das dürfte hier wohl gemeint sein.

Eine obere Schranke einer Zahlenfolge darf nicht von n abhängig sein. 

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Vielen.
Also lautet die obere Schranke 1/(n-1)...

Das ist die aber abhänigig von n oder?

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> Also lautet die obere Schranke 1/(n-1)

Nein:

Es gilt für jedes einzelne Folgenglied a_n   |a_n| ≤ 1/(n-1)    (n > 1) 

> Das ist aber abhänigig von n oder? 

Ja, deswegen kann man es auch nicht obere Schranke nennen, denn dieser Begriff bezieht sich auf die ganze Zahlenfolge a_n , nicht auf die einzelnen Folgenglieder.

Eine obere Schranke habe ich dir in der Aufgabe genannt.

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Der Grenzwert der oberen Schranke muss aber 0 sein.

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>  Der Grenzwert der oberen Schranke muss aber 0 sein.

Der Grenzwert  von 1/(n-1) ist ja auch 0

Das Ding heißt aber einfach nicht "obere Schranke"  :-)

Eine obere Schranke ist eine Zahl, und die hat keinen GW:

s∈ℝ  heißt obere Schranke der reellen Zahlenfolge a_n , wenn gilt:

a_n ≤  s   für alle  n∈ℕ   ( also die gleiche Zahl s für alle Folgenglieder, nicht nur für ein bestimmtes mit der Nummer n)

( eine obere Schranke ist nicht eindeutig bestimmt)

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Das nennt man Majorante/Minorante.

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Ich kenne die Begriffe Majorante/Minorante eigentlich nur im Zusammenhang mit Reihen.

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Vielen Dank :)

Tut mir leid, wenn ich wieder störe...

So soll glaube ich die Lösung am Ende aussehen...

Kannst Du das bestätigen?

Wenn ja, wie kommt man auf (-1)/(1+n) und (1)/(n-1)?

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Nette Mädchen dürfen mich immer stören :-)

Ja, das kann ich bestätigen:

| (SIN(15·n^3 - 18·n^2 + n) / (COS(15·n^3 - 18·n^2) + n)) | ≤  1/(n-1)

hatten wir oben schon.

-1 / (n+1) ≤  | (SIN(15·n^3 - 18·n^2 + n) / (COS(15·n^3 - 18·n^2) + n)) |

ist trivial, weil der linke Term negativ und der rechte Term positiv ist.

Deswegen ist das zwar völlig überflüssig, aber

-1 ist der minimal mögliche Wert für  SIN(15·n^3 - 18·n^2 + n)

n+1 ist der maximal mögliche Wert für  COS(15·n^3 - 18·n^2) + n

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-1 / (n+1) ≤  | a_n | ≤  1 / (n-1)

|a_n|  ist also zwischen zwei Termen eingeschlossen, die beide für n→∞  gegen 0 konvergieren.

Deshalb kann der Grenzwert von a_n nur 0 sein, was für uns allerdings auch nichts Neues ist :-)

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0  ≤  |a_n|  ≤  1 / (n-1)    hätte es natürlich auch getan und das steht oben irgendwo.

Obelix hat eindeutig recht:

Die spinnen, die Römer :-)

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Vielen Dank für die Hilfe :)

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Immer noch immer wieder gern :-)

Answer 2

Hallo probe,

analog zur vorherigen Aufgabe kannst Du argumentieren, dass die Polynome innerhalb der Sinus- und Kosinusfunktion gegen \(\infty\) laufen werden. Die Grenzwerte für den Sinus und Kosinus sind im Unendlichen keine festen Zahlenwerte (man bedenke, dass es sich um periodische Funktionen handelt). Die Funktionswerte liegen jeweils im Intervall \([-1,1]\). Für \(n\rightarrow\infty\) nehmen \(\sin\) und \(\cos\) Werte zwischen \(-1\) und \(1\) an. Der Summand \(n\) im Nenner sorgt dafür, dass der Gesamtausdruck gegen \(0\) geht. Siehe hier.

André

Comments

Mir ist das nicht ganz klar.

Kann man das nicht rechnerisch lösen?

Also mit den Grenzwertsätzen oder mit was anderem?

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Kann man das nicht rechnerisch lösen?

Also mit den Grenzwertsätzen oder mit was anderem? 

über dem Bruchstrich hast du eine beschränkte Zahl, der Nenner geht aber gegen unendlich. ==> Der Grenzwert des Bruchterms ist 0.