Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: x˙ = −2tx + te^ (-t^2) mit x(0) = 0

Question

ich suche einen Weg wie ich die Aufgabe Lösen kann: 

EDIT: Gemeint war: 

x˙ = −2tx + te^−t2 mit x(0) = 0,  

Version vom 7.8.2017 war

$$\dot { x } =\quad -tx+te^{ t-x }\quad mit\quad x(0)=0$$

mfg,

Comments

ich suche einen Weg wie ich die Aufgabe Lösen kann: 

Substituiere:

z= e^{t-x}

x= t -ln(z)

x'= -1/z +1

aber auch damit, wie mit anderen Substitutionen komme ich nicht ans Ziel.

Folgende Verfahren  sind nicht anwendbar:

-Trennung d. Variablen

-Variation d. Konstanten

-Bernoulli -DGL

-Exakte DGL.

Ist das die Orginalaufgabenstellung ?

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27(t)%3D-tx%2Bte%5E(t-x)+,+x(0)%3D0

Nachtrag:

Änhliche Aufgabe:

https://www.mathelounge.de/442815/losen-sie-folgende-anfangswertprobleme-x-e-t-x-e-t-mit-x-0-0

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ich glaube nicht, dass das wirklich hilft, oder?

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Wenn da schon der Onkel Wolfi das Handtuch in die virtuellen Seile schmeißt ...

... das Ding ist wohl zu transzendent - aber vielleicht gibt es einen Trick mit der doch recht auffälligen Anfangsbedingung ... ?

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doch die ist gut müsste klappen ich schaus mir später an...

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Der Link zu wolframalpha in der obigen Antwort zeigt keinen Lösungsweg - und eigentlich auch keine Lösung. Daher meine Bemerkung bezüglich der "Hilflosigkeit" .

Der einen Tag später reingefuschelte fast ebenso geniale Nachtrag in der Antwort, der besser als Kommentar aufgehoben gehört, ist ebenso nutzlos, weil die Aufgabe zwar "ähnlich" ist, aber eben doch leider völlig anders in ihrer Struktur.

Es ist eben $$ e \cdot t \ne e^t$$ und das ist auch nicht so einfach mit einem Faktor oder sonstwie zu heilen oder zu substituieren.

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selber keine Idee, aber labern...

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Na dann erklär doch mal, inwieweit der Nachtrag des Antwortgebers hilfreich sein soll.

Wie Du bereits in Deiner Antwort vermutet hast, kann die Aufgabenstellung falsch wiedergegeben worden sein. Wie üblich hat der Fragesteller sich nicht weiter dazu geäußert und lacht sich ins Fäustchen, wie wir hier rumdiskutieren. Wie üblich enthält sich der Fragesteller jeglicher Rückmeldung, sondern postet fleißig weitere Fragen ins Forum, ohne sich um die bisherigen Threads zu kümmern.

Bei der Antwort von jc2144 kann ich jedoch keine zielführenden Hinweise erkennen - aber wenn Du es kannst ...

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Danke für die Antworten... ich musste auf eine andere Klausur lernen deswegen konnte ich nicht antworten...

also ich habe gemerkt, dass ich da eine andere Aufgabe hingeschrieben habe als die ich lösen möchte... oder keine Ahnung an was ich dabei gedacht habe... ich möchte auf jeden fall die hier lösen:
x˙ = −2tx + te^{−t^2} mit x(0) = 0,

wie krieg ich denn nun den Teil mit x auf die andere Seite? (also Trennung der Variable)

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nein... das ist die aufgabe: (sry keine ahnung was ich mir da gedacht habe, aber hab irgendwie eine ganz andere aufgabe aufgeschrieben, und sry konnte in der zwischenzeit nicht antworten, musste auf eine andre klausur lernen)

x˙ = −2tx + te^{−t^2} mit x(0) = 0, 

Answer 1

das war eigentlich schon klar das die falsche Aufgabe aufgeschrieben hast ;)

x'=-2tx+te^{-t^2}

Das stinkt schon nach der Produktregel wenn du dir die beiden Summanden anschaust.

Substituierte daher x(t)=e^{-t^2}*f(t)

und setze ein.

Man erhält

x'=-2te^{-t^2}*f(t)+e^{-t^2}*f'(t)

=-2t*f(t)e^{-t^2}+te^{-t^2}| :e^{-t^2}

-2tf(t)+f'(t)=-2tf(t)+t

---> f'(t)=t

f(t)=1/2t^2+C

--->  x(t)=e^{-t^2}*(1/2 t^2+C)

x(0)=C=0

Comments

ok mach ich...

aber nun paar fragen dazu:
wie kommst du gleich auf Produktregel und diese substitution:x(t)=e^{-t^2}*f(t)?

die Lösung ist richtig. 

aber was passiert hier? 

x'=-2te^{-t^2}*f(t)+e^{-t^2}*f'(t)

=-2t*f(t)e^{-t^2}+te^{-t^2}| :e^{-t^2}

-2tf(t)+f'(t)=-2tf(t)+t

ist das so eigentlich?

x'<=>

-2te^{-t^2}*f(t)+e^{-t^2}*f'(t) =-2t*f(t)e^{-t^2}+te^{-t^2}       | :e^{-t^2}

<=> -2tf(t)+f'(t)=-2tf(t)+t

weil nur dann macht die Umformung sinn...

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x'=-2tx+te^{-t^2}

^{Die Ableitung von e^{-t^2}}

^{ist -2te^{-t^2} , das ist sehr ähnlich dem linken Summanden. Es sind rechts zwei Summanden, das ist typisch für die Ableitung eines Produkts mit zwei Faktoren. Da im zweiten Summanden ebenfalls der Faktor e^{-t^2} auftritt kommt man zur Vermutung, das x(t)=e^{-t^2}*f(t)}

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Man berechnet zuerst x'(t)

mithilfe der Substitution x(t)=e^{-t^2}*f(t) und der Produktregel. Das setzt man dann gleich mit der rechten Seite der DGL,

-2tx +t*e^{-t^2}=-2te^{-t^2}*f(t),

ja da gehören eigentlich Äquivalenzzeichen hin.

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wie komm ich genau auf

f(t)=1/2t²+C? integration oder umformen ?

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ist das dieselbe vorgehensweise?

http://mathedia.com/gewoehnliche-differentialgleichungen/variation-der-konstanten-aufgabe-2/

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wie komm ich genau auf

f(t)=1/2t²+C? integration oder umformen ?

Es wurde nach t integriert.

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na viel spaß beim integrieren von -2te^{-t^2}

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Ich glaube da hast du was falsch verstanden, es stand oben

f'(t)=t

Das schäffst du zu integrieren ;)

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ahsoo ok

nagut ich dachte ich muss alles integrieren...

dann wegen der substitution nochmal:

gut du hast geguckt, ob man schon was erkennen kann udn hast Produktregel erkannt... aber zu erkennen, dass x'=-2tx+te^-t2 die Ableitung von  e^{-t^2} ist, ist nicht leicht... aber du hast das glücklicherweise gewusst... wie soll ich das denn bei härteren aufgaben machen... und dann noch die substition x(t)=e^-t2*f(t)...keine chance... ich bin mir fast sicher es muss n anderen weg geben... 

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Wenn man es nicht gleich erkennt: Standardmethoden wie z.B Variation der Konstanten usw.

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ich habe von einem freund das hier bekommen... sagt dir das was, könntest du mir den zweiten teil erklären? der hat das vom tutor bekommen udn versteht das selber nicht...

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Im Grunde genommen ist das genau dasselbe, wie ich gemacht habe, nur das einige Schritte übersprungen wurden und direkt die Lösungsformel für die Variation der Konstanten eingesetzt wurde.

Es ist x_hom (t)=c_schlange * e^{-t^2}

Variation der Konstanten:

Man setzt an, dass c_schlange =c_schlange(t), also eine Funktion ist. Der einzige Unterschied zu mir ist, dass bei mir c_schlange(t)=f(t)

heißt. Man erhält dann zum Schluss die selbe Bestimmungsgleichung für f'(t), . Auf deinem Zettel wurde dann bestimmt integriert, daher direkt mit Grenzen.

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nun machts auch sinn wieso das t vor e^... aufeinmal verschwunden ist...

ich sollte mir variation der kontstanten und separation der variablen noch etwas noch etwas genauer anschauen...

danke dir für deine hilfe :)

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Ich habe den Kommentar als Antwort gesetzt. Die Folgekommentare sind leider hier oben geblieben. Hoffe das passt dennoch ;).

(Erstantwort mit Verweis auf wolfram entfernt)

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hey ich habe noch eine kleine bitte... könntest du da nochmal richtig aufschreiben... deine "=" zeichen verwirren mich echt... wie kommst du auf

-2te^{-t^2}*f(t)+e^{-t^2}*f'(t) = -2t*f(t)e^{-t^2}+te^{-t^2}?

ist das die allgemeine vorgehensweise?

du hast die variable vor dem inhomogenen teil mit f(x) ersetzt und diesen Teil dann substituiert und x genannt. (tut man immer diesen teil substituieren bei variation der konstanten oder war das nur bei dieser aufgabe so?)

dann hast du diesen substituierten teil abgeleitet, hier mit produktregel.

Und in der der ausgangsgleichung das x durch den substituierten teil ersetzt.

dann hat sich was weggekürzt (das hab ich auch gelesen, dass sich was bei der variation d. Konst. wegkürzt)

dann hast du was übrig ist, erst nach f'(x) umgeformt, dann integriert. natürlich mit einer Integrationskonstanten.

und was hast du am ende gemacht? einfach f(x) dann in unsere substitution eingesetzt? also gibt es keine rücksubstitution? und dannach einfach die Anfangswerbedingung einsetzen und C rausbekommen, hier 0.

Answer 2

falls es Dich noch interessiert :

Die gesamte DGL kannst Du mit "Variation der Konstanten lösen"

(mit der Lösungsformel)

Comments

@Grosserloewe

ok hab ich da kommt für diesen teil:

x=e^-t^2

was ist mit te^{-t^2}?

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habe  meine Lösung eingestellt , siehe darüber mit der Lösungsformel

Diese finde ich am kürzesten .

Answer 3

Ok, ich schreib nochmal sauber auf, hab jetzt auch Tex zur Verfügung:

Die Ausgangsgleichung lautet:

$$ x'(t)=-2tx(t)+te^{-t^2} $$

Mein Ansatz zur Berechnung lautet:

$$ x(t)=e^{-t^2}*f(t) $$

Mithilfe der Produktregel berechnen wir

$$ x'(t)=-2te^{-t^2}*f(t)+e^{-t^2}*f'(t) $$

Die wird in der Ausgangsgleichung links eingesetzt:

$$-2te^{-t^2}f(t)+e^{-t^2}f'(t)=-2tx(t)+te^{-t^2}  $$

Rechts kann man als nächstes x(t) durch den Ansatz ersetzen und die Gleichung vereinfachen:

$$-2te^{-t^2}f(t)+e^{-t^2}f'(t)=-2te^{-t^2}f(t)+te^{-t^2}| +2te^{-t^2}\\e^{-t^2}f'(t)=te^{-t^2}|:e^{-t^2}\\f'(t)=t  $$

Nun wird diese Gleichung unbestimmt integriert:

$$\int f'(t)dt=\int tdt\\f(t)=\frac { 1 }{ 2 }t^2+C  $$

Jetzt setz man dies in den Ansatz ein:

$$x(t)=e^{-t^2}f(t)=e^{-t^2}(\frac { 1 }{ 2 }t^2+C)  $$

Jetzt noch den Anfangswert einsetzen und fertig.

Comments

Kein Ding ;)