Parameterform zu Koordinatenform

Question

Aufgabe

Gegeben sind die Gerade g: $$\overrightarrow { { r }_{ x } } =\quad \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$$ und die Gerade f: $$\overrightarrow { { r }_{ x } } =\quad \begin{pmatrix} 4 \\ 12 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 11 \\ 2 \end{pmatrix}$$

a) Bestimmen Sie die Koordinatengleiichung einer Gerade n durch den Punkt P (3I10), die normal zu g steht.
Frage: Ist meine Koordinatengleichung richtig?
Ich habe die Umwandlung von Parametergleichung zu Koordinaten mit den Buchstaben a und b (Ohne zu wissen wie es rechnerisch geht) des Normalenvektors abgeleitet und sie für ax+by+c = 0 eingesetzt, ich habe nur a und b, wofür steht das c, evt. für die z-Koordinate die ich im R^{2} nicht habe? 

b) Bestimmen Sie die Parametergleichung einer Geraden b, die Parallel zu f steht mit P ∈ b. 
Frage: Aus der Information dass "P ∈ b" ist, folgt doch dass meine Gerade durch diesen Punkt gehen muss, 
obwohl in der Aufgabenstellung steht "einer Gerade" (klingt wie irgendeine Gerade). Oder?

Answer 1

Hallo limonade,

a)

Die Normalengleichung hat die Form  -3x + 4y + c = 0

[ diese Form hat jede Senkrechte zu g ]

Einsetzen von  P(3|10)  ergibt  c = - 31

[ oder:  c =  - \(\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) * \(\begin{pmatrix} 3 \\ 10 \end{pmatrix}\) = - 31 ]

  →      n:  - 3x + 4y = 31

b)

> ...  folgt doch dass meine Gerade durch diesen Punkt gehen muss ...

Ja, gesucht ist eine Gerade b, die parallel zu f ist und durch den Punkt P geht.

Gruß Wolfgang

Comments

a) ich muss halt trotzdem gemäss Formelbuch die werte für a und b ablesen und dann von diesem Punkt (wo die Normale durchgeht) die Werte für x ubd y einsetzen um c zu erhalten. Stimmt das so ?

b) danke !

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Also ich meine, dass wenn ich genau diese Implizite Gleichung brauche das c aus dem Einsetzen der x und y Werte resultiert, wenn ich dass c unbedtimmt lasse wäre es die Gleichung jeder Normalen zu g.

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1. So kann man das machen. Aber Wissen ist besser als Formelbuch. :-)

2. Ja

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Vielen vielen Dank Wolfgang !

Dieser unterschied zwischen allgemeine Normale in Koordinatenform und die bestimmte Normale in Koordinatenform ist super.

In Zukunft löse ich solche umformungen gerne rechnerisch.

Die Mathelounge und die Hilfsbereitschaft aller Mitwirkenden ist äusserst beeindruckend. Ich habe hier  gelernt präziser zu arbeiten! Das ist mega toll ! :-)

Entsprechend stelle ich auch gerne hier meine Fragen.