Seien \(X\) und \(Y\) die beiden Kandidaten. \(X\) hat \(x\) Stimmen und \(Y\) \(y\) Stimmen. Insgesamt wurden \(x+y=n\) Stimmen abgegeben und es ist \(x>y\). Wir ordnen den Stimmen für \(X\) und \(Y\) Werte zu. Eine Stimme für \(X\) habe den Wert \(1\) und eine für \(Y\) den Wert \(-1\). Es ist $$\Omega=\biggl\{(s_1,s_2,...,s_n)\mid s_i\in\{-1,1\}\wedge\sum_{i=0}^{n}{c_i}=x-y\biggr\}$$ also \(x\) mal die \(1\) und \(y\) mal die \(-1\). Daraus folgt: $$|\Omega|=\binom{n}{x}=\binom{n}{y}$$ Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(Y\) nie vorne liegt, d.h. \(X\) liegt immer vorne. Wir suchen die Mächtigkeit der Menge $$A=\biggl\{(s_1,s_2,...,s_{n'})\in\Omega\mid \sum_{i=0}^{n'}{s_i\geq 1,\forall i}\biggr\},$$ um die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{|A|}{|\Omega|}\) bestimmen zu können. Weil auch hier \(A\) abgezählt werden muss, überlegen wir uns zwei weitere Mengen \(\Phi_1\) und \(\Phi_2\) für die gilt: $$\Omega=A+\Phi_1+\Phi_2$$ mit paarweise disjunkten \(A,\Phi_1,\Phi_2\). Die Mengen \(\Phi_1\) und \(\Phi_2\) könnten wie folgt aussehen: $$\Phi_1=\biggl\{(s_1,s_2,...,s_n)\in\Omega\mid s_1=1\wedge \sum_{i=0}^{n'}{s_i\leq 0}\text{, für ein }i\biggr\}$$ $$\Phi_2=\bigl\{(s_1,s_2,...,s_n)\in\Omega\mid s_1=-1\bigr\}\rightarrow \text{ erste Stimme für }Y$$ Es ist \(|\Phi_1|=|\Phi_2|\). Es gilt also: $$|\Omega|=|A|+2\cdot |\Phi_2|\Longleftrightarrow |A|=|\Omega|-2\cdot |\Phi_2|$$ Und dadurch sparen wir uns die explizite Angabe von \(A\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist nun: $$\dfrac{|A|}{|\Omega|}=\dfrac{|\Omega|-2\cdot |\Phi_2|}{|\Omega|}=1-2\cdot \dfrac{\binom{n-1}{x}}{\binom{n}{x}}$$ Das kann man auch noch vereinfachen, wie Du hier (https://www.wolframalpha.com/input/?i=1-2*binom(n-1,+x)%2Fbinom(n,x)) sehen kannst.
Wenn Du Rückfragen hast, dann stelle sie gerne.
André
