Goniometrische Gleichung sin(x) + cos(x) = 1/2. Was ergibt sin(x) * cos(x)?

Question

Gegeben: sin(x) + cos(x) = 1/2

Was ergibt sin(x) * cos(x)?

Wie soll man diese Aufgabe lösen? Man braucht doch mind. einen x1 Wert?

Comments

Was ergibt sin(x) * cos(x)?

sin(x) * cos(x) = 1/2 * sin(2x) 

Kennst du vermutlich als Doppelwinkelformel: sin(2x) = 2*sin(x) * cos(x) . Diese kommt im Zusammenhang mit den Additionstheoremen vor. 

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Quadrieren liefert \(\large\frac14=\color{blue}{\sin^2x}+2\sin x\cdot\cos x+\color{blue}{\cos^2x}=\color{blue}1+2\sin x\cdot\cos x\).
Es folgt \(\large\sin x\cdot\cos x=-\frac38\).

Answer 1

Falls die Aufgabe so lautet:

sin(x) +cos(x)=1/2 |- cos(x)

sin(x) =1/2 - cos(x) |(..)^2

sin^2(x) =(1/2 - cos(x))^2

sin^2(x) = 1/4 -cos(x) + cos^2(x)

1- cos^2(x)= 1/4 -cos(x) + cos^2(x)

1- cos^2(x) - 1/4 +cos(x) - cos^2(x)=0

-2 cos^2(x)+cos(x) +3/4=0 |: (-2)

cos^2(x) -2 cos(x) -3/8=0

z=cos(x)

----->

z^2 -2z  -3/8=0

usw.

Answer 2

die Summe eines Sinus und eines Cosinus der selben Frequenz kann man als phasenverschobenen  Sinus mit dieser Frequenz darstellen, der Ansatz lautet also:

$$  sin(x)+cos(x)= A*sin(x+\alpha)$$

Die rechte Seite löst man nun mit den Additionstheorem auf

$$  sin(x)+cos(x)= A*(sin(x)cos(\alpha)+cos(x)sin(\alpha))$$

Nun vergleicht man die Koeffizienten vor Sin(x) und COS(x) auf beiden Seiten miteinander.

$$  1=Acos(\alpha)\\1=Asin(\alpha)\\1=tan(\alpha)\\\alpha=\pi/4\\A=\sqrt { 2 }$$

Löse nun die Gleichung

√2 *sin(x+π/4)=1/2