Regel von l’Hospital auf unbestimmten Ausdruck

Question

So wie ich das verstanden habe, verwendet man die Regel wenn einen unbestimmten Ausdruck der Form 0/0, ±∞/∞ im Grenzübergang entsteht. Nun ist meine Frage, im Fall von ∞/∞, muss das Vorzeichen im Zähler und Nenner gleich sein?

z.B. entsteht −∞/∞ aus ln(x)/(1/x) als x gegen 0 strebt. Kann man hier trotzdem die Regel benutzen?

Answer 1

Hallo Tally, 

unbestimmte Ausdrücke sind hier definiert https://de.wikipedia.org/wiki/Unbestimmter_Ausdruck_(Mathematik)#Definition.

Ja, Du kannst hier l'Hospital verwenden. Bedenke, dass z.B. $$\frac{-\infty}{\infty}=-\frac{\infty}{\infty}$$ und dieser Ausdruck ist unbestimmt. Es ist selbstverständlich auch $$\frac{\infty}{-\infty}$$ unbestimmt.

Ich finde es sehr gut, dass Du Dir darüber Gedanken machst. Ein Großteil meiner Studies macht das nämlich nicht:-(

André

Comments

danke für deine schnelle und gute Antwort!

Ich habe ganz vergessen, dass man Unendlichkeit als sehr große Zahlen betrachten kann! Damit gelten natürlich die Rechengegeln (Vorzeichen), so wie du es im Beispiel gezeigt hast :)

Answer 2

Nun ist meine Frage, im Fall von ∞/∞, muss
das Vorzeichen im Zähler und Nenner gleich sein?
Nein.
z.B. entsteht −∞/∞ aus ln(x)/(1/x) als x gegen 0
strebt. Kann man hier trotzdem die Regel benutzen?
Ja.

Das Ergebnis bliebe noch nachzutragen
L´Hospital
( ln ( x ) )´ = 1/x
( 1/x )´ ) = - 1/x^2

lim x −> 0(+) [ ( 1/x ) / ( -1/x^2 )  ] = - x = 0