Fundamentalsystem der Differentialgleichung y'(t) = A * y(t) bestimmen

Question

ich muss ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung y'(t) = A· y(t) bestimmen, wobei $$\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}$$ mit dem Hinweis: Es gibt ein kleines n₀∈ℕ, sodass für alle n ≥ n₀ die Matrix Aⁿ eine Nullmatrix ist.

Leider verstehe ich den Hinweis überhaupt nicht. Ich habe aber die Eigenwerte und die Eigenvektoren ausgerechnet.

Eigenwerte : λ₁=λ₂=λ₃=0

Eigenvektor zum Eigenwert 0: (1, 0, 0).

Mit so einer Art von Aufgabe bin ich noch nicht konfrontiert worden. Normalerweise hatte ich immer 3 verschiedene reelle Eigenvektoren mit dem man dann das Fundamentalsystem bauen kann.

Leider habe ich hier überhaupt keine Idee. Den Hinweis verstehe ich leider auch nicht. Ich hoffe jemand kann mir mit Erklärung genau zeigen, wie eine solche Aufgabe zu lösen ist.

Danke vorab.

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Leider verstehe ich den Hinweis überhaupt nicht.

Dann mach's halt ohne. Das Gleichungsystem lautet $$\begin{aligned}y_1'&=y_2+y_3\\ y_2'&=y_3\\ y_3'&=0\end{aligned}.$$ Das laesst sich beginnend mit der letzten Gleichung leicht loesen.

Answer 1

berechne das Matrixexponential

 $$ e^{A}=\sum_{n=0}^{\infty}{A^n/n!} $$

und verwende hierfür den Hinweis.

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Mit dieser Methode habe ich nun die folgende Matrix berechnet:

$$\begin{pmatrix}1&1&\frac{3}{2}\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$$

Nur wie geht es jetzt weiter? Und wie bilde ich das Fundamentalsystem? Kannst du mit das eventuell vorzeigen?

Danke.

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Sry, meine Anleitung war nicht so zielführend. Das Matrixexponential hast du richtig berechnet, aber ich hab den Faktor t im Exponenten vergessen ^^.

Bei einem DGL-System der Form

$$ y'(t)=Ay(t) $$

lautet die Lösung

$$ y(t)=e^{At}*y(0) $$

Zu berechnen ist also

$$ e^{At}=\sum_{n=0}^{\infty}{A^nt^n/n!}=\begin{pmatrix}  1 & t&1/2*(t^2+2t) \\ 0 & 1&t\\0&0&1 \end{pmatrix} $$

Setzt man nun

$$ y(0)=\begin{pmatrix} { c }_{ 1 }\\{ c }_{ 2}\\{ c }_{ 3 } \end{pmatrix} $$

so ergibt sich

$$ y(t)=\begin{pmatrix} { c }_{ 1 }+{ c }_{ 2 }t+{ c }_{ 3 }(t^2+2t)/2\\{ c }_{ 2 }+{ c }_{ 3 }t\\{ c }_{ 3 } \end{pmatrix}\\={ c }_{ 1 }\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}+{ c }_{ 2 }\begin{pmatrix} t\\1\\0 \end{pmatrix}+{ c }_{ 3 }\begin{pmatrix} (t^2+2t)/2\\t\\1 \end{pmatrix} $$

Das Fundamentalsystem sind die 3 Vektoren, welche mit den Koeffizienten multipliziert werden.

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Kann ich nun diesen dieses Schema verwenden um jede ähnliche Aufgabe so zu lösen?

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Prinzipiell schon, aber die Berechnung des Matrixexponentials

ist in den meisten Fällen schwierig. Da verwendet man andere Methoden,

z.B mithilfe der Eigenvektoren und Eigenwerte.

Hier war es aufgrund des Hinweises jedoch einfach.

(Mit dem Tipp von Fakename wäre die Aufgabe allerdings

in noch geringer Zeit zu lösen ;) )