stetigkeit und differenzierbarkeit?

Question

wann ist eine Funktion stetig?

Wann ist eine Funktion differenzierbar?

Müssen die Funktionen bei beiden ununterbrochen sein?


danke im voraus ;)

Answer 1

Eine Funktion ist stetig, wenn man sie ohne abzusetzen in eins zeichnen kann.

https://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit

Sie ist differenzierbar, wenn sie sich in jeder beliebig kleinen Umgebung linear nähern lässt. Sie darf dazu keine Knickstellen haben.

https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbar

Also Knicke wären zwar stetig aber nicht differenzierbar.

Comments

Naja, das mit dem Durchzeichnen gilt aber nicht, wenn die Funktion z.B. auf \(\mathbb R\setminus\{0\}\) definiert ist.

Mathematisch ausgedrückt (sprich: Für den Fragesteller uninteressant): Ist \(D\subset\mathbb R\) zusammenhängend, so ist eine Funktion \(f\colon D\to\mathbb R\) genau dann stetig, wenn der Graph von \(f\) wegzusammenhängend ist.

Ist \(D\subset\mathbb R\) jedoch nicht zusammenhängend, so ist \(f\colon D\to\mathbb R\) noch nicht stetig, wenn \(f\) auf jeder Zusammenhangskomponente von \(D\) stetig ist. Betrachte dazu $$D=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N\right\}\,.$$ Dann sind die Zusammenhangskomponenten von \(D\) gerade die Mengen \(\{\tfrac1n\}\), wobei \(n\in\mathbb N\). Auf denen ist jede Funktion stetig. Aber man findet leicht eine Funktion auf \(D\), die nicht stetig ist.

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Schön :) Richtige Mathematik ^^

Answer 2

Hi,

eine Funktion ist stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Sie ist differenzierbar, wenn der Grenzwert

$$ \lim_{x - y \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(y)}{x-y} $$

für alle x, y aus dem Definitionsbereich existiert.

Die Funktionen, die beiden, müssen ununterbrochen sein (auf dem Definitionsbereich).

MfG

Mister

Comments

PS: Ist eine Funktion in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig und ist ihr Definitionsbereich offen, besteht also nur aus offenen Zusammenhangskomponenten, so ist die Funktiog stetig.

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Wozu forderst du die Offenheit des Definitionsbereiches? Und Zusammenhangskomponenten eines topologischen Raumes sind immer offen...

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Stimmt, vergiss das mit den Zusammenhangskomponenten. Die Offenheit schließt die Definition auf isolierten Punkten aus. Eine auf offenen Mengen stetige Funktion ist stetig.

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Und eine stetige Funktion auf einer (im umgebenden Raum) nicht offenen Menge muss nicht stetig sein?

Oder was meinst du mit "auf offenen Mengen stetig"?

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Nein. Die Rückrichtung lautet: Ist eine Funktion unstetig, so existiert eine nicht offene Menge, auf der sie unstetig ist.

Auf offenen Mengen stetig soll heißen, dass sie zum Beispiel auf (-2, -1) und auf (1, 2) definiert ist und dort stetig ist. Dann ist sie insgesamt stetig.

Anderes Beispiel: 1/x auf (-1, 0) vereinigt mit (0, 1) ist stetig da sie auf offenen Mengen stetig ist.

Vielleicht müsste man präzisieren: Eine Funktion, die auf jeder offenen Teilmenge ihres Definitionsbereiches stetig ist, ist stetig.

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Offene Teilmengen? Wenn also \(D\subset\mathbb R\) und \(f\colon D\to\mathbb R\) gegeben sind, ist die Voraussetzungen dann, dass \(f\) eingeschränkt auf jedee Teilmenge von \(D\) stetig ist, welche offen in \(\mathbb R\) ist? Dann wäre deine Aussage falsch. Oder eingeschränkt auf jede Teilmenge von \(D\), welche offen in \(D\) ist? Dann wäre die Aussage trivial, denn \(D\) selbst ist offen in \(D\) und damit enthält die Voraussetzung bereits die Stetigkeit von \(f\).

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Ja, genau und Gegenbeispiele wie dein obiges schließen sich trivialerweise aus.

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Eigentlich wollte ich ja wissen, was du mit "offenen Teilmengen ihres Definitionsbereiches" meinst. Sollen die offen in \(\mathbb R\) sein? Oder offen im Definitionsbereich?

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Dann muss ich meinen ersten Kommentar nur ergänzen:

Ist eine Funktion in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig und ist ihr Definitionsbereich D ⊂ ℝ^n offen (topologisch offen im ℝ^n *), dann ist f stetig.

* also nicht zwingend zusammenhängend

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Dann sagst du folgendes aus: Stetige Funktionen sind stetig, wenn ihr Definitionsbereich offen ist.

Die Einschränkung an den Definitionsbereich kann ich da nicht ganz nachvollziehen, denn immerhin sind stetige Funktionen grundsätzlich stetig ;)

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Ich meine aber: Punktweise stetige Funktionen sind stetig, wenn ihr Definitionsbereich D, also jede Zusammenhangskomponente dessen, offen ist.

Allerdings ist eine stetige Funktion definitionsgemäß stetig, wenn sie in jedem Punkt aus D stetig ist.

Wir sind jetzt an einem Punkt, an dem dein Gegenbeispiel eine Funktion erfordert, die auf D = {0} und {1/n, n in N} in jedem Punkt stetig ist, aber nicht auf gesamt D stetig ist.

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Eine Funktion, die in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist, ist doch stetig. In Ana1 meist sogar direkt nach Definition. Wobei mir gerade auffällt, dass \(\{0\}\) natürlich doch eine Zusammenhangskomponente der genannten Menge \(D\) ist... Hatte mich davon irritieren lassen, dass \(\{0\}\) nicht offen ist.

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Zuerst dachte ich ja, ich muss nach einer Voraussetzung suchen, die dein Gegenbeispiel berücksichtigt. Nach langer Diskussion hast du mich jetzt allerdings davon überzeugt, dass dein Gegenbeispiel * falsch ist :)

(* definitionsgemäß)