Rückführung der eulerschen Schreibweise in die kartesische Form z=(3i-√3)^4

Question

Hi,

ich habe die kartesische Form die eulerische Form umgeschrieben, um zu potenzieren und da steht dann:

z=144*e^{8/3ipi} ,

wie geht es weiter? Die Aufgabe ist den Imaginärteil und den Realteil zu kennzeichnen. (Ohne TR und TW)

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Ich könnte einfach

z= 144*cos 8/3pi + i 144*sin 8/3pi aufschreiben .... und die beiden Teile markieren, aber geht es noch schöner?

Answer 1

$$ z=144e^{i8\pi/3}=144e^{i2\pi+\frac { i2\pi }{ 3 }}=144e^{\frac { i2\pi }{ 3 }}\\=144(cos(\frac { 2\pi }{ 3 })+isin(\frac { 2\pi }{ 3 }))\\144(-1/2+i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 })=-72+i*72*\sqrt { 3 } $$

Comments

Muss dann wirklich zweimal i im Exponenten schreiben i2pi + i2pi/e ? Weil die 2pi ziehst du doch einfach raus, weil es eine ganze Umdrehung ist..

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Ja, denn es ist

$$ \frac { 8i\pi }{ 3 }=i*(2\pi+\frac { 2\pi }{ 3 })=(i*2\pi+i\frac { 2\pi }{ 3 }) $$

Ohne das i ist es keine komplexe Phase.

Dann zum Schluss verwendet man noch

$$ e^{i*2\pi+i\frac { 2\pi }{ 3 }}=e^{i*2\pi}*e^{i\frac { 2\pi }{ 3 }}=e^{i\frac { 2\pi }{ 3 }} $$

Answer 2

$$z=(3i-\sqrt{3})^4\\ ⇒|z_1|=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}\\ tan(φ)=\frac{3}{-\sqrt{3}}=-\sqrt{3}\\ φ=120°=(\frac{2π}{3})\\ ⇒=\Bigl(\sqrt{12}\cdot e^{i\space\frac{2π}{3}}\Bigr)^4\\ =144\cdot e^{i\space \frac{8π}{3}}\\ ⇒=144(cos(\frac{8π}{3}))+i\space sin(\frac{8π}{3})\\ =144[-0,5+i\space \frac{\sqrt{3}}{2}]\\ =-72+i\space 72\sqrt{3}$$