Quotientenkriterum: Verständnis des Rechenwegs

Question

Wie komme ich denn genau von dem ersten Bruch zum zweiten bzw. wie wurde gekürzt:

\( \left|\frac{-(2 n) !}{(2 n+2) !}\right|=\frac{1}{(2 n+1) \cdot(2 n+2)} \rightarrow 0 \)

Answer 1

das Minus fällt wegen den Betragsstrichen weg. Für das Umschreiben des Bruchs lohnt es sich, die Fakultät im Nenner  auszuschreiben:

\((2n+2)!=(2n+2)\cdot \underbrace{(2n+2-1)}_{=2n+1}\cdot \underbrace{(2n+2-2)!}_{=2n}=(2n+2)\cdot (2n+1)\cdot (2n)!\)

\((2n)!\) kann nun im Zähler und Nenner gekürzt werden und es ergibt sich die gekürzte Form:

\(\dfrac{(2n)!}{(2n+2)!}=\dfrac{ \cancel{(2n)!}}{(2n+2)\cdot (2n+1)\cdot \cancel{(2n)!}}=\dfrac{1}{(2n+2)\cdot (2n+1)}\)

Ist das verständlich?

Comments

EDIT: Ich denke, dass man jetzt besser sieht, was gekürzt wird und warum;-) Die Reihenfolge der Faktoren im Nenner kann natürlich vertauscht werden (Kommutativität).

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blöde Frage :D. Wie schreibe ich die Fakultät hier aus, also:

\( !=(2 n+2) \cdot(2 n+2-1) \cdot(2 n+2-2) \)

Sonst ist alles klar.

Danke.

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Was meinst Du mit "ausschreiben"?

Dort steht letztendlich \((2n+2)!=(2n+2)\cdot (2n+1)\cdot (2n)!\) und \((2n)!\) wäre dann \(2n\cdot (2n-1)\cdot (2n-2)\cdot ...\cdot n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1\). Oder was meinst Du genau?