Ausmultiplizieren von sin und cos

Question

Guten Morgen zsm. ich lerne gerade für meine Mathe 2 Klausur im Informatik Studium. Aktuell Beschäftige ich mich mit der ersten Ableitungsfunktion.

Die Aufgaben der Übungen habe ich soweit alle durch geballert, jedoch gibt es dort eine Aufgabe die mir echt Kopfschmerzen gibt und zwar diese.

$$ \frac { 2+cos(x) }{ 2-cos(x) } $$

Um hier die Erste Ableitung arbeitet man mit der Quotientenregel, irgendwann nach dem Rechnen Ende ich bei einem Ergebnis wie diesem

$$\frac { (-sin(x))*(2-cos(x))-(2+cos(x))*(-sin(x)) }{ (2-cos(x))^ 2 } $$

Wie Multipliziere ich jetzt -sin(x) mit cos(x) aus, ich konnte bisher weder im Script noch sonst was passendes finden.

Schönes Wochenende,

beste Grüße

Comments

Hinweis
( 2 - cos ( x ) ) ´ =  sin ( x )

Answer 1

Einfach im Zähler die Klammern auflösen:

-sin(x)*(2-cos(x)) - ( 2+cos(x) ) * (sin(x))    ( siehe Kommentar ) 

= -2sin(x)   + sin(x)cos(x))   - 2sin(x)   - cos(x)sin(x)

=  -4sin(x)

Also f ' (x) =   -4sin(x)  /  ( cos(x) - 2 ) ²   

Comments

Super danke, jetzt hab ich es kapiert. Die Lösung hatte ich bereits mir war nur das sinus ausklammern nicht richtig bewusst.

Answer 2

Man multipliziert aus, indem man eines der Distributivgesetze

        a·(b + c) = (a·b + a·c)

        (b + c)·a = (b·a + c·a)

anwendet. Finde einen Teilterm, der so aussieht wie die linke Seite. Identifiziere in diesem Teilterm a, b und c. Ersetzte diesen Teilterm durch den entsprechenden Term auf der rechten Seite.

Answer 3

Georg hat recht. Da ist ein Vorzeichenfehler. Nach dessen Beseitigung heißt es [-sinx(2-cosx)-sinx(2+cosx)]/(2-cosx)². Nach den Ausklammer von -sinx heißt es (-sinx·[(2-cosx)+(2+cosx)])/(2-cosx)²=(-4sinx)/(2-cosx)²