@385lfr
Mit dem Wurzelkriterium kommt man nicht weiter, denn der Grenzwert ist 1.
Mit dem Quotientenkriterium bekommen wir den Grenzwert e, d.h. wegen e > 1 divergiert die Reihe.
Mit dem Nullfolgenkriterium divergiert die Reihe, denn wir bekommen den Grenzwert 1/√e.
Wurzelkriterium:
$$\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n^2} \frac{1}{e^n} } = \sqrt[n]{\left(\left(1+\frac{1}{n} \right)^n \right)^n \frac{1}{e^n} } = \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n} \frac{1}{e} \\\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n} \frac{1}{e}= \frac{e}{e} = 1$$
Quotientenkriterium:
$$ \frac{\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{(n+1)^2}}{e^{n+1}} \frac{e^n}{\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n^2}} =\\\frac{1}{e}\frac{\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{n^2+2n+1}}{\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n^2}}=\\ \frac{1}{e} \left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}} \right)^{n^2}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{2n+1} =\\\frac{1}{e} \left(\frac{\frac{n+1+1}{n+1}}{\frac{n+1}{n}} \right)^{n^2}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{2n+1} =\\\frac{1}{e} \left(\frac{n+2}{n+1}\frac{n}{n+1} \right)^{n^2}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{2n+1} =\\\frac{1}{e}\left(\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \right)^{n^2}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{2n+1} =\\\frac{1}{e} \left(\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \right)^{n}\left(\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \right)^{n}\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^n\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^n\left(1+\frac{1}{n+1} \right) \\ \\\lim_{n \to \infty}\frac{1}{e} \left(\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \right)^{n}\left(\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \right)^{n}\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^n\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^n\left(1+\frac{1}{n+1} \right)= \\ \frac{1}{e} \cdot 1 \cdot 1 \cdot e \cdot e \cdot 1 = e $$
Beste Grüße
gorgar
