Ist die Reihe nach dem Wurzelkriterium konvergent oder gibt es keine Aussage?

Question

Ich habe versucht bei folgender Reihe mit dem Wurzelkrieterium eine Aussage zu erhalten. Leider bin ich mir sicher, ob das gefordete q<1 für fast alle n aus den natürlichen zahlen existiert. Erhalte ich eine Aussage?

Comments

Ich habe versucht bei folgender Reihe mit dem Wurzelkrieterium eine Aussage zu erhalten

Du hast das Quotientenkriterium verwendet ............

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Richtig, das Quotientenkriterium.

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Ok, dann mit Quotientenkriterium. Bei deiner Rechnung ist in der ersten Zeile ein Fehler:

$$(1+\frac { 1 }{ n+1 })^{(n+1)^2}\neq(1+\frac { 1 }{ \color{red} n })^{n^2+2n+1}$$

Answer 1

ich bin mir nicht sicher, aber das Quotientenkriterium sollte bei richtiger Anwendung keine Aussage liefern, da der Bruch gegen 1 strebt.

Die Divergenz ist am einfachsten mit dem Nullfolgenkriterium zu zeigen:

$$(1+\frac { 1 }{ n })^{n^2}/e^n=({(1+\frac { 1 }{ n })^{n}})^n/e^n\approx e^n/e^n=1$$

für n gegen unendlich.

Comments

@385lfr
Mit dem Wurzelkriterium kommt man nicht weiter, denn der Grenzwert ist 1.
Mit dem Quotientenkriterium bekommen wir den Grenzwert e, d.h. wegen e > 1 divergiert die Reihe.
Mit dem Nullfolgenkriterium divergiert die Reihe, denn wir bekommen den Grenzwert 1/√e.

Wurzelkriterium:

$$\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n^2} \frac{1}{e^n} } = \sqrt[n]{\left(\left(1+\frac{1}{n} \right)^n \right)^n \frac{1}{e^n} } = \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n} \frac{1}{e} \\\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n} \frac{1}{e}= \frac{e}{e} = 1$$
Quotientenkriterium:

$$\frac{\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{(n+1)^2}}{e^{n+1}} \frac{e^n}{\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n^2}} =\\\frac{1}{e}\frac{\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{n^2+2n+1}}{\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n^2}}=\\ \frac{1}{e} \left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}} \right)^{n^2}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{2n+1} =\\\frac{1}{e} \left(\frac{\frac{n+1+1}{n+1}}{\frac{n+1}{n}} \right)^{n^2}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{2n+1} =\\\frac{1}{e} \left(\frac{n+2}{n+1}\frac{n}{n+1} \right)^{n^2}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{2n+1} =\\\frac{1}{e}\left(\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \right)^{n^2}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{2n+1} =\\\frac{1}{e} \left(\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \right)^{n}\left(\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \right)^{n}\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^n\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^n\left(1+\frac{1}{n+1} \right) \\ \\\lim_{n \to \infty}\frac{1}{e} \left(\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \right)^{n}\left(\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \right)^{n}\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^n\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^n\left(1+\frac{1}{n+1} \right)= \\ \frac{1}{e} \cdot 1 \cdot 1 \cdot e \cdot e \cdot 1 = e$$

Beste Grüße
gorgar

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@gorgar

es ist

$${ a }_{ n+1 }=(1+\frac { 1 }{ n+1 })^{(n+1)^2}/e^{n+1}$$

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Hallo Gast jc2144! :-)

Ja, natürlich, Du hast Recht!
Ich Blindfisch! Habe es verbessert.
Vielen Dank für den Hinweis! :-)

Beste Grüße
gorgar

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Kein Problem, ich freu mich dass es mit dem Quotientenkriterium auch funktioniert. Meine Vermutung in der Hinsicht war falsch, aber ich wollte mir die Rechnung hierzu nicht antun :).