Kreisgleichung aufstellen, Tangenten legen

Question

Ich habe hier folgendes Beispiel:

 

1) Ermittle eine Gleichung eines Kreises, der durch die Punkte A(6/6) und B(0/-4) geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden g: x = -2 liegt!

2) Stelle Gleichungen der Tangenten an diesen Kreis in den Punkten A und B auf!

3) Wie groß sind die Winkel, die diese Tangenten bilden?

4) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Punkten A, B und vomSchnittpunkt der beiden Tangenten gebildet wird!

 

Mein Problem sind 1.) und 2.).
Wie bilde ich die Kreisgleichung, wenn nur 2 Punkte und eine Gerade gegeben sind?

Wie stelle ich die Gleichungen der Tangenten auf?

Liebe Grüße

Answer 1

1) Ermittle eine Gleichung eines Kreises, der durch die Punkte A(6/6) und B(0/-4) geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden g: x = -2 liegt!

Wenn ein Kreis durch die Punkte A und B geht muss der Mittelpunkt sich auf der Mittelsenkrechten zwischen A und B befinden.

Mittelpunkt zwischen A und B:
M_AB = 1/2 * (A + B) = [3, 1]

Steigung zwischen A und B
m_AB = (y1 - y2) / (x1 - x2) = (6 - (-4)) / (6 - 0) = 10/6 = 5/3

Mittelsenkrechte:
h(x) = m * (x - Px) + Py = -3/5 * (x - 3) + 1 = 2.8 - 0.6·x

Schnittpunkt von g und h. Da brauche ich nur x = -2 in h einsetzen
h(-2) = 4

Der Kreismittelpunkt ist damit M(-2, 4).

Der Radius ist der Abstand von Punkt A oder B zum Kreismittelpunkt
r = √((6 - (-2))^2 + (6 - 4)^2) = √68

Also lautet die Kreisgleichung
K: (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 68

2) Stelle Gleichungen der Tangenten an diesen Kreis in den Punkten A und B auf!

Die Tangente bei A geht durch den Punkt A und hat eine Steigung senkrecht zur Geraden durch den Kreismittelpunkt und A.

m_MA = (6 - 4) / (6 - (-2)) = 1/4

Damit lautet die Tangente in A

ta(x) = m * (x - Px) + Py = -4 * (x - 6) + 6

Genauso wird die Tangente in B gemacht.

m_MB = (-4 - 4) / (0 - (-2)) = -4
tb(x) = m * (x - Px) + Py = 1/4 * (x - 0) - 4

Skizze:

Answer 2

1) Ermittle eine Gleichung eines Kreises, der durch die Punkte \(A(6|6)\) und \(B(0|-4) \)  geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden g: \(x = -2\) liegt!

\((x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2\)     \(x_M = -2\):

\((x+2)^2+(y-y_M)^2=r^2\) 

\(A(6|6)\):

\((6+2)^2+(6-y_M)^2=r^2\)  →    1.) \(100-12y_M+y_M^2=r^2\)

\(B(0|-4) \):

\((0+2)^2+(-4-y_M)^2=r^2\)   → 2.) \(20+8y_M+y_M^2=r^2\)

1.)  -2.):

\(80-20y_M=0\)  →   \(y_M=4\)   ∈   2.) \(20+8\cdot4+16=r^2\)  →  \(r^2=68\)

\((x+2)^2+(y-4)^2=68\)

2) Stelle Gleichungen der Tangenten an diesen Kreis in den Punkten A und B auf!

\(f(x,y)=(x+2)^2+(y-4)^2-68\)
\(f_x(x,y)=2(x+2)=2x+4\)
\(f_y(x,y)=2(y-4)=2y-8\)
\(f'(x)=-\frac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)}\)
\(f'(x)=-\frac{2x+4}{2y-8}\)
\(A(6|6)\):
\(f'(6)=-\frac{12+4}{12-8}=-4\)
Tangentengleichungen:
1.)\(\frac{y-6}{x-6}=-4\)    →  \(y=-4x+30\)
\(B(0|-4) \):
\(f'(0)=-\frac{4}{-8-8}=\frac{1}{4}\)
2.)\(\frac{y+4}{x}=\frac{1}{4}\)    →  \(y=\frac{1}{4}x-4\)