Steigung an der Stelle 2 der Funktion f(x)=x^3-2x mit der h-Methode

Question

Gegeben sei die Funktion f(x)=x³-2x. Berechne f'(2) mithilfe der h-Methode.

Ich habe dort -896 rausbekommen obwohl es eigentlich 10 sein soll :/

Hat jemand Tipps wie ich es machen könnte? Ich vermute dass ich beim Ausklammern Flüchtigkeitsfehler gemacht habe :/

Answer 1

Hi,

Eigentlich nur direkt vorgehen ;).

$$\lim_{h\to0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim \frac{(2+h)^3-2(2+h)\quad-\quad(2^3-2\cdot2)}{h} $$

$$= \lim \frac{(8+12h+6h^2+h^3)-(4+2h)\quad-\quad(8-4)}{h} $$

$$= \lim\frac{h^3+6h^2+10h+4\quad-\quad4}{h}$$

$$= \lim \frac{h^3+6h^2+10h}{h} = \lim h^2+6h+10 = 10$$

Alles klar?

Grüße

Comments

Danke :D

Habe am Anfang den Fehler gemacht, dass ich (2+h)³ falsch berechnet hatte.

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Haha, wenn das Verfahren sonst klar ist und es nur an so einem Fehler lag, ist ja alles gut.

Gerne :)

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Das Verfahren verstehe ich. Nur ich verrechne mich bei einigen Punkten. Wie zum Beispiel bei ((2+h)³-2*(2+h))-4

Muss üben die Ruhe zu bewahren bei solchen Aufgaben xD

Answer 2

\(f(x)=x^3-2x\)

\(\lim_{h\rightarrow 0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\)

An der Stelle \(x=2\)

\(\lim_{h\rightarrow 0}{\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{(2+h)^3-2(2+h)-2^3+2\cdot 2}{h}}\\=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{h^3+6h^2+12h+8-4-2h-8+4}{h}\)

L'Hospital wegen \(\dfrac{0}{0}\) anwenden

\(\lim_{h\rightarrow0}{h^2+6h+10}=10\)

André

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Danke :D

Hatte unnötige Klammern gesetzt

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Hi André,

Hinweis: für Schüler ist l'Hospital meist unbekannt. Warum auch nutzen, wenn man kürzen kann ;).

Grüße

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"L'Hospital wgeen [...] anwenden"

Das erscheint mir in diesem Zusammenhang überhaupt nicht sinnvoll...

PS: Wenn das eine Programm erstellte Antwort ist, so muss noch einiges überarbeitet werden :^)

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Ja stimmt. Vielleicht sollte man sich die Antworten doch noch einmal durchlesen:-D Ich habe bislang nur eine Prüfung auf die Fälle drin, in denen L'Hospital angewendet werden kann. Bei diesem Aufgabentyp wird vorher nun reduce_fraction durchgeführt. Danke für den Hinweis.

Answer 3

Wir haben folgendes: $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left((2+h)^3-2(2+h)\right)-\left(2^3-2\cdot 2\right)}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)\cdot \left((2+h)^2-2\right)-\left(2^3-2^2\right)}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)\cdot \left(4+4h+h^2-2\right)-2^2\left(2-1\right)}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)\cdot \left(2+4h+h^2\right)-2^2}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{4+8h+2h^2+2h+4h^2+h^3-4}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{10h+6h^2+h^3}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h\cdot \left(10+6h+h^2\right)}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0} \left(10+6h+h^2\right) \\ =10$$

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Danke :D

Habe sehr viele Flüchtigkeitsfehler, die ich verbessern muss :)

Answer 4

$$ f(x)=x^3-2x\\f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac { f(x+h)-f(x) }{ h }\\=\lim_{h\to 0}\frac { (x+h)^3-2(x+h)-x^3+2x }{ h }\\=\lim_{h\to 0}\frac { (x+h)^3-2h-x^3 }{ h }\\=\lim_{h\to 0}\frac { h^3+3xh^2+3x^2h+x^3-2h-x^3 }{ h }\\=\lim_{h\to 0}\frac { h^3+3xh^2+3x^2h-2h}{ h }\\=\lim_{h\to 0}h^2+3xh+3x^2-2\\=3x^2-2\\f'(2)=10 $$

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Diesen Lösungsweg bin ich auch als erstes gegangen, doch ich wollte die ganze Berechnung mal mit der h-Methode versuchen xD

Danke für die Antwort

Answer 5

((2+h)^3-2(2+h)-(2^3-2+2))/h

(8+12h+6h^2+h^3-4-2h-8-2)/h

12+6h+h^2-2 = 10 für h gegen Null