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Gegeben sei die Funktion f(x)=x3-2x. Berechne f'(2) mithilfe der h-Methode.


Ich habe dort -896 rausbekommen obwohl es eigentlich 10 sein soll :/

Hat jemand Tipps wie ich es machen könnte? Ich vermute dass ich beim Ausklammern Flüchtigkeitsfehler gemacht habe :/

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Hi,

Eigentlich nur direkt vorgehen ;).

limh0f(2+h)f(2)h=lim(2+h)32(2+h)(2322)h\lim_{h\to0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim \frac{(2+h)^3-2(2+h)\quad-\quad(2^3-2\cdot2)}{h}

=lim(8+12h+6h2+h3)(4+2h)(84)h= \lim \frac{(8+12h+6h^2+h^3)-(4+2h)\quad-\quad(8-4)}{h}

=limh3+6h2+10h+44h= \lim\frac{h^3+6h^2+10h+4\quad-\quad4}{h}

=limh3+6h2+10hh=limh2+6h+10=10= \lim \frac{h^3+6h^2+10h}{h} = \lim h^2+6h+10 = 10


Alles klar?


Grüße

Avatar von 141 k 🚀

Danke :D

Habe am Anfang den Fehler gemacht, dass ich (2+h)3 falsch berechnet hatte.

Haha, wenn das Verfahren sonst klar ist und es nur an so einem Fehler lag, ist ja alles gut.


Gerne :)

Das Verfahren verstehe ich. Nur ich verrechne mich bei einigen Punkten. Wie zum Beispiel bei ((2+h)3-2*(2+h))-4

Muss üben die Ruhe zu bewahren bei solchen Aufgaben xD

+2 Daumen

f(x)=x32xf(x)=x^3-2x

limh0f(x+h)f(x)h\lim_{h\rightarrow 0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}

An der Stelle x=2x=2

limh0f(2+h)f(2)h=limh0(2+h)32(2+h)23+22h=limh0h3+6h2+12h+842h8+4h\lim_{h\rightarrow 0}{\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{(2+h)^3-2(2+h)-2^3+2\cdot 2}{h}}\\=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{h^3+6h^2+12h+8-4-2h-8+4}{h}

L'Hospital wegen 00\dfrac{0}{0} anwenden

limh0h2+6h+10=10\lim_{h\rightarrow0}{h^2+6h+10}=10

André

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Danke :D

Hatte unnötige Klammern gesetzt

Hi André,

Hinweis: für Schüler ist l'Hospital meist unbekannt. Warum auch nutzen, wenn man kürzen kann ;).

Grüße

"L'Hospital wgeen [...] anwenden"

Das erscheint mir in diesem Zusammenhang überhaupt nicht sinnvoll...

PS: Wenn das eine Programm erstellte Antwort ist, so muss noch einiges überarbeitet werden :^)

Ja stimmt. Vielleicht sollte man sich die Antworten doch noch einmal durchlesen:-D Ich habe bislang nur eine Prüfung auf die Fälle drin, in denen L'Hospital angewendet werden kann. Bei diesem Aufgabentyp wird vorher nun reduce_fraction durchgeführt. Danke für den Hinweis.

+2 Daumen

Wir haben folgendes: limh0f(2+h)f(2)h=limh0((2+h)32(2+h))(2322)h=limh0(2+h)((2+h)22)(2322)h=limh0(2+h)(4+4h+h22)22(21)h=limh0(2+h)(2+4h+h2)22h=limh04+8h+2h2+2h+4h2+h34h=limh010h+6h2+h3h=limh0h(10+6h+h2)h=limh0(10+6h+h2)=10\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left((2+h)^3-2(2+h)\right)-\left(2^3-2\cdot 2\right)}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)\cdot \left((2+h)^2-2\right)-\left(2^3-2^2\right)}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)\cdot \left(4+4h+h^2-2\right)-2^2\left(2-1\right)}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)\cdot \left(2+4h+h^2\right)-2^2}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{4+8h+2h^2+2h+4h^2+h^3-4}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{10h+6h^2+h^3}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h\cdot \left(10+6h+h^2\right)}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0} \left(10+6h+h^2\right) \\ =10

Avatar von 6,9 k

Danke :D

Habe sehr viele Flüchtigkeitsfehler, die ich verbessern muss :)

+1 Daumen

f(x)=x32xf(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh0(x+h)32(x+h)x3+2xh=limh0(x+h)32hx3h=limh0h3+3xh2+3x2h+x32hx3h=limh0h3+3xh2+3x2h2hh=limh0h2+3xh+3x22=3x22f(2)=10 f(x)=x^3-2x\\f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac { f(x+h)-f(x) }{ h }\\=\lim_{h\to 0}\frac { (x+h)^3-2(x+h)-x^3+2x }{ h }\\=\lim_{h\to 0}\frac { (x+h)^3-2h-x^3 }{ h }\\=\lim_{h\to 0}\frac { h^3+3xh^2+3x^2h+x^3-2h-x^3 }{ h }\\=\lim_{h\to 0}\frac { h^3+3xh^2+3x^2h-2h}{ h }\\=\lim_{h\to 0}h^2+3xh+3x^2-2\\=3x^2-2\\f'(2)=10

Avatar von 37 k

Diesen Lösungsweg bin ich auch als erstes gegangen, doch ich wollte die ganze Berechnung mal mit der h-Methode versuchen xD


Danke für die Antwort

+1 Daumen

((2+h)3-2(2+h)-(23-2+2))/h

(8+12h+6h2+h3-4-2h-8-2)/h

12+6h+h2-2 = 10 für h gegen Null

Avatar von 81 k 🚀

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