Gegeben sei die Funktion f(x)=x3-2x. Berechne f'(2) mithilfe der h-Methode.
Ich habe dort -896 rausbekommen obwohl es eigentlich 10 sein soll :/
Hat jemand Tipps wie ich es machen könnte? Ich vermute dass ich beim Ausklammern Flüchtigkeitsfehler gemacht habe :/
Hi,
Eigentlich nur direkt vorgehen ;).
limh→0f(2+h)−f(2)h=lim(2+h)3−2(2+h)−(23−2⋅2)h\lim_{h\to0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim \frac{(2+h)^3-2(2+h)\quad-\quad(2^3-2\cdot2)}{h} h→0limhf(2+h)−f(2)=limh(2+h)3−2(2+h)−(23−2⋅2)
=lim(8+12h+6h2+h3)−(4+2h)−(8−4)h= \lim \frac{(8+12h+6h^2+h^3)-(4+2h)\quad-\quad(8-4)}{h} =limh(8+12h+6h2+h3)−(4+2h)−(8−4)
=limh3+6h2+10h+4−4h= \lim\frac{h^3+6h^2+10h+4\quad-\quad4}{h}=limhh3+6h2+10h+4−4
=limh3+6h2+10hh=limh2+6h+10=10= \lim \frac{h^3+6h^2+10h}{h} = \lim h^2+6h+10 = 10=limhh3+6h2+10h=limh2+6h+10=10
Alles klar?
Grüße
Danke :D
Habe am Anfang den Fehler gemacht, dass ich (2+h)3 falsch berechnet hatte.
Haha, wenn das Verfahren sonst klar ist und es nur an so einem Fehler lag, ist ja alles gut.
Gerne :)
Das Verfahren verstehe ich. Nur ich verrechne mich bei einigen Punkten. Wie zum Beispiel bei ((2+h)3-2*(2+h))-4
Muss üben die Ruhe zu bewahren bei solchen Aufgaben xD
f(x)=x3−2xf(x)=x^3-2xf(x)=x3−2x
limh→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h\rightarrow 0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}limh→0hf(x+h)−f(x)
An der Stelle x=2x=2x=2
limh→0f(2+h)−f(2)h=limh→0(2+h)3−2(2+h)−23+2⋅2h=limh→0h3+6h2+12h+8−4−2h−8+4h\lim_{h\rightarrow 0}{\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{(2+h)^3-2(2+h)-2^3+2\cdot 2}{h}}\\=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{h^3+6h^2+12h+8-4-2h-8+4}{h}limh→0hf(2+h)−f(2)=limh→0h(2+h)3−2(2+h)−23+2⋅2=limh→0hh3+6h2+12h+8−4−2h−8+4
L'Hospital wegen 00\dfrac{0}{0}00 anwenden
limh→0h2+6h+10=10\lim_{h\rightarrow0}{h^2+6h+10}=10limh→0h2+6h+10=10
André
Hatte unnötige Klammern gesetzt
Hi André,
Hinweis: für Schüler ist l'Hospital meist unbekannt. Warum auch nutzen, wenn man kürzen kann ;).
"L'Hospital wgeen [...] anwenden"
Das erscheint mir in diesem Zusammenhang überhaupt nicht sinnvoll...
PS: Wenn das eine Programm erstellte Antwort ist, so muss noch einiges überarbeitet werden :^)
Ja stimmt. Vielleicht sollte man sich die Antworten doch noch einmal durchlesen:-D Ich habe bislang nur eine Prüfung auf die Fälle drin, in denen L'Hospital angewendet werden kann. Bei diesem Aufgabentyp wird vorher nun reduce_fraction durchgeführt. Danke für den Hinweis.
Wir haben folgendes: limh→0f(2+h)−f(2)h=limh→0((2+h)3−2(2+h))−(23−2⋅2)h=limh→0(2+h)⋅((2+h)2−2)−(23−22)h=limh→0(2+h)⋅(4+4h+h2−2)−22(2−1)h=limh→0(2+h)⋅(2+4h+h2)−22h=limh→04+8h+2h2+2h+4h2+h3−4h=limh→010h+6h2+h3h=limh→0h⋅(10+6h+h2)h=limh→0(10+6h+h2)=10\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left((2+h)^3-2(2+h)\right)-\left(2^3-2\cdot 2\right)}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)\cdot \left((2+h)^2-2\right)-\left(2^3-2^2\right)}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)\cdot \left(4+4h+h^2-2\right)-2^2\left(2-1\right)}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)\cdot \left(2+4h+h^2\right)-2^2}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{4+8h+2h^2+2h+4h^2+h^3-4}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{10h+6h^2+h^3}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h\cdot \left(10+6h+h^2\right)}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0} \left(10+6h+h^2\right) \\ =10h→0limhf(2+h)−f(2)=h→0limh((2+h)3−2(2+h))−(23−2⋅2)=h→0limh(2+h)⋅((2+h)2−2)−(23−22)=h→0limh(2+h)⋅(4+4h+h2−2)−22(2−1)=h→0limh(2+h)⋅(2+4h+h2)−22=h→0limh4+8h+2h2+2h+4h2+h3−4=h→0limh10h+6h2+h3=h→0limhh⋅(10+6h+h2)=h→0lim(10+6h+h2)=10
Habe sehr viele Flüchtigkeitsfehler, die ich verbessern muss :)
f(x)=x3−2xf′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0(x+h)3−2(x+h)−x3+2xh=limh→0(x+h)3−2h−x3h=limh→0h3+3xh2+3x2h+x3−2h−x3h=limh→0h3+3xh2+3x2h−2hh=limh→0h2+3xh+3x2−2=3x2−2f′(2)=10 f(x)=x^3-2x\\f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac { f(x+h)-f(x) }{ h }\\=\lim_{h\to 0}\frac { (x+h)^3-2(x+h)-x^3+2x }{ h }\\=\lim_{h\to 0}\frac { (x+h)^3-2h-x^3 }{ h }\\=\lim_{h\to 0}\frac { h^3+3xh^2+3x^2h+x^3-2h-x^3 }{ h }\\=\lim_{h\to 0}\frac { h^3+3xh^2+3x^2h-2h}{ h }\\=\lim_{h\to 0}h^2+3xh+3x^2-2\\=3x^2-2\\f'(2)=10 f(x)=x3−2xf′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0limh(x+h)3−2(x+h)−x3+2x=h→0limh(x+h)3−2h−x3=h→0limhh3+3xh2+3x2h+x3−2h−x3=h→0limhh3+3xh2+3x2h−2h=h→0limh2+3xh+3x2−2=3x2−2f′(2)=10
Diesen Lösungsweg bin ich auch als erstes gegangen, doch ich wollte die ganze Berechnung mal mit der h-Methode versuchen xD
Danke für die Antwort
((2+h)3-2(2+h)-(23-2+2))/h
(8+12h+6h2+h3-4-2h-8-2)/h
12+6h+h2-2 = 10 für h gegen Null
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