Ich versuche folgenden Satz und dessen Beweis nachzuvollziehen, scheitere aber im Beweis an der Stelle an der Lemma 5.1 benutzt wird, da ich nicht verstehe, wie das Lemma angewandt wird. Vielleicht kann mir jemand erklären, wo ich an dieser Stelle eine zyklische Gruppe (und eine Untergruppe davon) übersehe.
Der Satz lautet wie folgt:
$$\textrm{Für den Primkörper } P \textrm{ des Körpers } K \textrm{ gilt:}$$
$$Char(K) = p \neq 0 \Rightarrow P = \{n\;1\;\vert \; 0\leq n<p\} \cong \mathbb{Z}_p$$
$$\textrm{Mit Worten heißt dies: Hat }K \textrm{ die Charakteristik } p\neq0\textrm{ so ist er isomorph zu } \mathbb{Z}_p.$$
Beweis:
$$\textrm{Mit 1 liegen auch alle Vielfachen } n1 \textrm{ in }P. \textrm{ Und die Abbildung}$$
$$ \tau : \begin{cases}\mathbb{Z} \to P\\n \mapsto n1\end{cases}$$
$$\textrm{ist nach [...] ein Ringhomomorphismus.}$$
$$\textrm{Weiter gilt } Kern(\tau) = p\mathbb{Z} \textrm{ nach Lemma 5.1. Mit dem Homomorphiesatz folgt}$$
$$\tau(\mathbb{Z}) = \{n\;1\;\vert \; 0\leq n<p\} \cong \mathbb{Z}\;{\large /}p\mathbb{Z} = \mathbb{Z}_p$$
$$\mathbb{Z}_p \textrm{ist nach Satz ... ein Körper. Demnach ist } \tau(\mathbb{Z}) = \{n\;1\;\vert \; 0\leq n<p\} \textrm{ bereits ein Körper, enthalten in } P, \tau(\mathbb{Z}) \subseteq P. \textrm{ Hieraus folgt } \tau(\mathbb{Z}) = P.$$
Das ist Lemma 5.1:
$$\textrm{Es sei } G = \langle a\rangle \textrm{ eine zyklische Gruppe. Dann ist auch jede Untergruppe } U \textrm{ von } G \textrm{ zyklisch. Und zwar gilt } U = \{e\} \textrm{ oder } U = \langle a^n\rangle, \textrm{ wobei } n \textrm{ die kleinste natürliche Zahl ist mit } a^n \in U.$$
