Allgemeine Lösung von Linearen Differentialgleichungen höherer Ordnung

Question

ich habe folgende lineare Differentialgleichung höherer Ordnung:

y⁽³⁾(t) - 4y''(t) + 5y'(t) - 2y(t) = 0.

Ich muss nun die allgemeine Lösung finden. In der Musterlösung wurde das mit charakteristischen Polynom gemacht, jedoch verstehe ich nicht genau, wie man darauf kommt.

P₂(λ) = λ3 - 4λ² + 5λ - 2 = (λ - 2)(λ - 1)².

Wie kommt man denn genau darauf? Und was passiert hier in diesem Fall, wenn ich einen doppelten EW habe?

Hoffe jemand kann Helfen.

:)

Comments

Wie kommt man denn genau darauf?

Das wird in der Vorlesung erklaert. Hast Du die komplett uebersprungen und machst bloss Aufgaben?

Answer 1

Hallo matheuzs,

ich schreibe r für λ 

y'''(t) - 4y''(t) + 5y'(t) - 2y(t) = 0

Man macht den Lösungsansatz  y(t) = e^r·t  und erhält die Ableitungen 

y'(t) = r·e^r·t  , y''(t) = r²·e^r·t  und  y'''(t) = r³·e^r·t 

Setzt man dies in die DGL ein und klammert e^r·t aus, hat man 

e^r·t · ( r³ - 4r² + 5r - 2) = 0

 r³ - 4r² + 5r - 2 = 0  ist dann das charakteristische Polynom, dessen Nullstellen die allgemeine Lösung der homogenen DGL bestimmen.

Die Lösung r₁ = 1 findet man durch Probieren.

Polynomdivision   (r³ - 4r² + 5r - 2) : (r-1)  =  r^2 - 3·r + 2

r^2 - 3·r + 2 = 0  ⇔  (r-1) · (r-2)  = 0  liefert  die Lösungen r₂ = 1 und  r₃ = 2

Also:    r³ - 4r² + 5r - 2  =  (r-1)² · (r-2)  

Damit hat man die allgemeine Lösung der homogenen DGL:

y_h (t)  =  c₁ · e^t  +  c₂ · x · e^t  +  c₃ · e^2t   

für die doppelte Nullstelle r=1  ; für die einfache Nullstelle r=2  des charakteristischen Polynoms.

Gruß Wolfgang