Aufgabe:
Auch bei homogenen Differentialgleichungen der Form
\( x^{(n)}+a_{n-1} x^{(n-1)}+\cdots+a_{1} x^{\prime}+a_{0} x=0 \)
führt der Exponentialansatz \( x(t)=e^{\lambda t} \) zur charakteristischen Gleichung, aus deren Nullstellen sich \( n \) Basislösungen der Differentialgleichung angeben lassen. Ist \( \tilde{\lambda} \) eine \( k \)-fache Nullstelle, so erhält man mit
\( t^{j} \cdot e^{\tilde{\lambda} t}, j=0, \ldots, k-1 \)
analog zu Differentialgleichungen 2 . Ordnung die gesuchten Basislösungen zu dieser Nullstelle.
Lösen Sie diese Differentialgleichungen:
a) \( x^{\prime \prime \prime}-2 x^{\prime \prime}-x^{\prime}+2 x=0 \)
b) \( x^{\prime \prime \prime}+2 x^{\prime \prime}+x=0 \)
c) \( x^{\prime \prime \prime}-2 x^{\prime \prime \prime}+2 x^{\prime}-x=0 \)