Ableitungsregeln beweisen. Bsp. f(x) = x^n , f'(x) = nx^{n-1}

Question

Hallo wir sollen die Ableitungsregeln Potenzregel : f(x) = xⁿ   , f'(x) = nx^n-1

Und die Konstantenregel: f(x) = c  f'(x)= 0

Mit der Formel f'(x)= lim h-> 0  (f(x+h) - f(x))/ h

beweisen. Ich weiss wirklich nicht weiter könnte jemand helfen ?

Answer 1

$$\begin{aligned} & & f(x) & =x^{n}\\ & \implies & f'(x) & =\lim_{h\to0}\frac{\left(x+h\right)^{n}-x^{n}}{h}\\ & & & =\lim_{h\to0}\frac{\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}x^{k}h^{n-k}-x^{n}}{h}\\ & & & =\lim_{h\to0}\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}x^{k}h^{n-k}+x^{n}h^{0}-x^{n}}{h}\\ & & & =\lim_{h\to0}\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}x^{k}h^{n-k}}{h}\\ & & & =\lim_{h\to0}\frac{h\cdot\sum_{k=0}^{n-1}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}x^{k}h^{n-k-1}}{h}\\ & & & =\lim_{h\to0}\sum_{k=0}^{n-1}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}x^{k}h^{n-k-1}\\ & & & =\lim_{h\to0}\left(\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}x^{n-1}h^{n-1-(n-1)}+\sum_{k=0}^{n-2}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}x^{k}h^{n-1-k}\right)\\ & & & =\lim_{h\to0}\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}x^{n-1}h^{n-1-(n-1)}+\lim_{h\to0}\sum_{k=0}^{n-2}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}x^{k}h^{n-1-k}\\ & & & =\lim_{h\to0}\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}x^{n-1}h^{n-1-(n-1)}+0\\ & & & =\lim_{h\to0}\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}x^{n-1}h^{0}\\ & & & =\lim_{h\to0}\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}x^{n-1}\cdot1\\ & & & =\lim_{h\to0}\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}x^{n-1}\\ & & & =\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}x^{n-1}\\ & & & =n\cdot x^{n-1}\end{aligned}$$

Answer 2

f(x) = x^n

f'(x) = lim (h --> 0) (f(x + h) - f(x)) / h

f'(x) = lim (h --> 0) ((x + h)^n - x^n) / h

f'(x) = lim (h --> 0) ((n über 0)*x^n + (n über 1)*x^{n - 1}*h + (n über 1)*x^{n - 2}*h^2 + ... - x^n) / h

f'(x) = lim (h --> 0) ((n über 1)*x^{n - 1}*h + (n über 1)*x^{n - 2}*h^2 + ...) / h

f'(x) = lim (h --> 0) ((n über 1)*x^{n - 1} + (n über 1)*x^{n - 2}*h + ...

f'(x) = n*x^{n - 1}

Comments

Stell mal den Differenzialquotient für die konstante Funktion auf

f(x) = c

f'(x) = lim (h --> 0) (f(x + h) - f(x)) / h

f'(x) = lim (h --> 0) (c - c) / h

f'(x) = lim (h --> 0) 0 / h = 0

Answer 3

Für die Potenzregel mit natürlichem n kannst du den binomischen Lehrsatz verwenden:

$$ \lim_{h\to0} {\dfrac { \left(x+h\right)^n-x^n }{ h }} = \\\,\\ \lim_{h\to0} {\dfrac { \left(\begin{pmatrix} n\\0 \end{pmatrix}x^nh^0+\begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix}x^{n-1}h^1+\ldots+\begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix}x^0h^n\right)-x^n }{ h }}  = \\\,\\ \lim_{h\to0} {\dfrac { \left(x^n+nx^{n-1}h+\ldots+h^n\right)-x^n }{ h }} =  \\\,\\ \lim_{h\to0} {\dfrac { nx^{n-1}h+\ldots+h^n }{ h }} = \\\,\\ \lim_{h\to0} {\left(nx^{\left(n-1\right)}+\ldots+h^{n-1}\right) } =  \\\,\\ nx^{n-1} $$