Umformen und abschätzen von Betrag. |h(x+y)-h(x)|<= .... <=4|y|

Question

Hallo ich verstehe folgende Umformung nicht.

Sei z= v|y| und |x+z|=2

dann ist |h(x+y)-h(x)|<= |h(x+y)-h(x+z)|+|(h(x+z)-h(x)| <= 4(|y-z|+|z|) = 4((1-v)*|y|+v|y|) <=4|y|

dabei wurde noch verwendet dass |h(x+y)-h(x)|<=|x+y-x|=|y|

                                                und |h(x+y)-h(x)|<=4|y|

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe

Answer 1

ist |h(x+y)-h(x)|

=  |h(x+y)) -h(x+z)+h(x+z) -h(x)|

weil das rote nur eine 0 ist .

Das als Betrag Summe zweier Terme betrachten

| (h(x+y)-h(x+z))  +   ((h(x+z)-h(x)) |

und die Dreiecksungl. anwenden gibt

<= |h(x+y)-h(x+z)|+|(h(x+z)-h(x) |

Das wäre der erste Teil der Abschätzung.

Für den Rest wäre die Kenntnis von h interessant und

|h(x+y)-h(x)|<=|x+y-x|=|y|

                                                und |h(x+y)-h(x)|<=4|y|

macht irgendwie wenig Sinn.  Vertippt ?

<= 4(|y-z|+|z|) = 4((1-v)*|y|+v|y|) <=4|y|