Ungleichung x²+1>8x+10 lösen, x>9 x<-1

Question

Wenn man folgendes hat:

x²+1>8x+10

(x-9)(x+1)>0

x-9>0

x>9

x+1>0

x>-1

Wieso ist das letzte falsch? Es muss x<-1 heißen...

Answer 1

x²+1>8x+10

(x-9)(x+1)>0

Ein Produkt ist grösser als 0, wenn beide Faktoren grösser als 0 oder, wenn beide Faktoren kleiner als 0 sind. 

x-9>0 und x+1> 0

" x>9 und x>-1 " kannst du abkürzen mit x>9. Dann ist x automatisch auch grösser als -1.

x-9<0 und x+1< 0

" x<9 und x< -1 " kannst du abkürzen mit x< -1. Dann ist x automatisch auch kleiner als 9.

"oder"

Beide Teile der Lösungsmenge vereinigen. L = { x Element R | x< -1 oder x> 9} 

Kontrolle und Illustration: Du brauchst den Bereich der x-Achse in dem die Funktionswerte von f(x)=(x-9)(x+1) oberhalb der x-Achse liegen:

~plot~ (x-9)(x+1);[[-4|11|-26|5]] ~plot~

Answer 2

(x-9)(x+1)>0

1.Fall
x-9>0 und x +1 > 0
x > 9 und x > -1
Schnittmenge
x > 9

2.Fall
x-9 < 0 und x +1 < 0
x < 9 und x < -1
Schnittmenge
x < -1

Lösungsmenge
( x > 9 ) und ( x < -1 )

Bei Bedarf nachfragen.

Comments

Wieso muss man hier denn eine Fallunterscheidung machen?

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Antwort Lu
Ein Produkt ist grösser als 0, wenn beide Faktoren grösser als 0 oder, wenn beide Faktoren kleiner als 0 sind.

(x-9)(x+1)>0
plus * plus > 0
minus * minus > 0

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Für welche x gilt ( x > 9 ) und ( x < -1 ) ?