Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 1/3 x^3 - 3x^2 + 8x +1. a) Bestimme f'(4)

Question

Kann jemand bei der Aufgabe 11 helfen? 

Answer 1

b.)
f ( x ) = 1/3 * x^3  - 3 * x^2  + 8 * x + 1
x₁= 5
f ( 5 ) = 1/3 * 5^3  - 3 * 5^2  + 8 * 5 + 1
f ( 5 ) = 23 / 3
( 5 | 23 / 3 )

x₂=1
f ( 1 ) = 1/3 * 1^3  - 3 * 1^2  + 8 * 1 + 1
f ( 1 ) = 19 / 3
( 1 | 19 / 3)

c.)
f ´( x ) = x^2 - 6 * x + 8
x^2 - 6 * x + 8 > 0 ( positiv )
x^2 - 6 * x + 3^2 > -8  + 9
( x - 3)^2 > 1
Allgemein
a^2 > 1 bedeutet a > 1 oder a < -1
x - 3 > 1
x > 4
x - 3 < -1
x < 2
Zusammen
x < 2 und x > 4

Comments

Vielen dank erstmal :)

Aber ich hätte eine Frage wie kommt man auf die 3x^2 aufeinmal bei c. ?;)

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Am ende bekommen wir für x 2 und  4 raus müsseb wir dann noch was machen zb Extremstellen bestimmen?

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Meinst du 3x^2 oder 3^2? Letztere sind durch die quadratische Ergänzung entstanden.

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Könnte ich die Aufgabe auch so lösen?

x^2 -6x+8 = 0 und dann die nullstellen berechnen? Ich bekomme aber -2 und -4 raus

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Dann wirst du dich verrechnet haben.

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Wenn ich dann die 2 und 4 rausbekomme, muss ich noch was berechnen?

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Die Aufgabe lautet "Geben Sie alle x an, für die der Graph von f eine positve Steigung hat (Steigung = f'(x), hier ≥ 0). Wie Georg das sehr schön vorgerechnet hat, gilt das für alle x, die kleiner/gleich 2 und größer/gleich vier sind. Damit ist der Aufgabenteil beantwortet.

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Für welche x gilt x < 2 und x > 4 ?

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( x - 3)² > 1

bedeutet mathematisch
| x - 3 | > √ 1
| x - 3 | > 1
1.Fall
x - 3 ist positiv
x - 3 > 1
x > 4
2.Fall
x - 3 ist negativ
( x - 3 ) * (-1) > 1
-x + 3 > 1
3 - 1 > x
x < 2

Du kannst auch die Nullstellen
der Steigungsfunktion bestimmen
( x - 3)² = 1
x -3 = ± 1
x = 4
x = 2
2.Ableitung bilden
f´´( x ) = 2 *x - 6
In die 2.Ableitung
f´´( 2 ) = 2 *2 - 6 = -2 ( Hochpunkt )
f´´( 4 ) = 2 *4 - 6 = 2 ( Tiefpunkt )
Kurvenverlauf
bis zum Hochpunkt steigend
zwischen Hoch- und Tiefpunkt fallend
ab dem Tiefpunkt wieder steigend

Answer 2

11a: Bilde die erste Ableitung und setze anschleißend für x=4 ein. Dann erhältst du f'(4).

11b: Setze die erste Ableitung gleich 3, also f'(x)=3 und bestimme dann die zugehörigen x-Werte.

11c: Setze die erste Ableitung >=0 und bestimme die zugehörigen x-Werte.

Comments

Vielen fank erstmal ich weiss jedoch nicht wie man das gleich>0 setzt? :)

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Rechne so, als wenn es ene Gleichung wäre, also als wenn nur = da stehen würde.

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Also sogesehen nur die nullstellen raussuchen?

Answer 3

a) f '(x)= x^2 -6x+8

f'(4) = 4^2-6*4 +8

f'(4)= 0

b) y'=m=3

3= x^2 -6x+8

0= x^2 -6x+5 ->pq-Formel

x_1,2= 3± √(9-5)

x₁= 5

x₂=1

Die beiden Werte sind noch in die Ausgangsgleichung  für die y- Werte einzusetzen.

Comments

Also die x werte in die fubktion  f(x) = 1/3x^3 - 3x^2+8x+1 setzen und kriege dann die y werte raus und danach? :)

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Dann ist die Aufgabe erledigt und du hast die beiden Punkte.

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Also sind die Punkte dann (5/ 23/3)

und (1/ 19/3) ?