Steckbriefaufgabe ganzrationale Funktion

Question

Die Aufgabe lautet :

Wir hätten gerne eine ganz rationale Funktion dritten Grades , deren Graph in W (0/1)  einen Wendepunkt und ein Maximum in M (1/2) hat.

Ich komme nicht weiter.

Answer 1

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

f(0) = 1

f ''(0) = 0

f(1) = 2

f '(1) = 0

Damit kannst du die 4 notwendigen Gleichungen aufstellen.

Answer 2

f(x) = ax³+bx²+cx+d. f '(x)= 3ax²+2bx+c. f ''(x)=6ax+2b.

f(0)=1; f(1)=2, f '(1)=0 und f ''(0)=0. das ergibt 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, die man lösen kann.

Answer 3

Hallo JC,

f(x) = ax^3 + bx^2 +cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''()x) = 6ax + 2b

Wendepunkt in (0|1) bedeutet

f(0) = 1 ⇒ d = 1

und

f''(0) = 0 ⇒ b = 0

Jetzt brauchst du nur noch die Zahlen für a und c

Maximum in (1|2) bedeutet

f(1) = 2  ⇒ I.  a + c + 1 = 2
f'(1) = 0 ⇒ II. 3a + c     = 0

II von I subrahiert ergibt

-2a + 1 = 2
a = -0,5

in I oder II eingesetzt ergibt für c = 1,5

Gruß
Silvia

Answer 4

Wir hätten gerne eine ganz rationale Funktion dritten Grades , deren Graph in W \((0|1)\)  einen Wendepunkt und ein Maximum in M \((1|2)\) hat.

M \((1|2)\) \(\red {↓}\) M´ \((1|0)\) doppelte Nullstelle

\(f(x)=a[(x-1)^2(x-N)]\)

\(f'(x)=a[(2x-2)(x-N)+(x-1)^2]\)

\(f''(x)=a[(2x-2N)+(2x-2)+(2x-2)]=a[(2x-2N)+(4x-4)]\)

in W \((0|...)\)  einen Wendepunkt

\(f''(0)=a[(-2N)+(-4)]=a[-2N-4]=0\)

\(N=-2\)

\(f(x)=a[(x-1)^2(x+2)]\)

W \((0|1)\)→W´ \((0|-1)\)

\(f(0)=a[(0-1)^2(0+2)]=-1\)

\(f(0)=2a=-1\)

\(a=-\frac{1}{2}\)

\(f(x)=-\frac{1}{2}(x-1)^2(x+2)\)

\(\red {↑}\)

\(p(x)=-\frac{1}{2}(x-1)^2(x+2)+2\)