Unterschiede und Bedeutungen von Diagonalform, Allg. Normalform und Jordan-Normalform

Question

kann mir jemand von euch sagen, was es mir bringt, eine Matrix in eine dieser Formen zu bringen?

Ich weiß, dass mit Matrizen in Diagonalform super leicht zu rechnen ist und sie deshalb eine der einfachsten Formen von Matrizen ist. Aber bei den anderen Formen kann ich es mir nicht erklären. Warum will ich denn zB eine Matrix in allgemeiner Normalform in Jordan-Normalform bringen?

Answer 1

Hallo bd4100, deine Frage sind mehrere Fragen:
    Was bringt es, eine Matrix in Diagonalform zu bringen?
        Nehmen wir z. B. als Anwendung ein System von Differenzialgleichungen, y’ = A * y.  Wenn es gelingt, es in die Form z’ = B * z zu transformieren, mit B Diagonalform, dann müssen wir lediglich n skalare Differenzialgleichungen z’ = k * z lösen, was ganz easy ist.
    Was bringt es, eine Matrix in Jordan-Normalform zu bringen?
        Die oben beschriebene Diagonalisierung funktioniert nur, wenn A regulär ist.  Ist sie das nicht, dann kann ich aber immerhin die Jordan-Normalform erzeugen.  Dadurch kann ich das „große“ System von Differenzialgleichungen in n voneinander unabhängige „kleine“ Systeme zerlegen, eines pro Jordan-Kästchen.
    Was bringt es, eine Matrix von der allgemeinen Normalform in die Jordan-Normalform zu bringen?
        Was meinst du mit „allgemeine Normalform“?  Ich kann dazu im ganzen Netz keinen Hinweis finden.