Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen x, y gilt: II x I - I y II <= I x - y I

Question

Kann mir jemand bei diesen Aufgaben weiterhelfen?

1. Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen x, y gilt: II x I - I y II <= I x - y I.

2. Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen a,b,c,d gilt: I a - b II c - d I <= I a - c II b - d I + I a - d II b - c I.

 

Ich bedanke mich schonmal für die Antworten!

Answer 1

Behauptung: II x I - I y II  ≤  I x - y I.

1. Fall x und y ≥ 0

II x I - I y II = I x - y I      ok.

2. Fall x≥ 0 und y<0

II x I - I y II = I x + y I  ≤ |x - y|                           Bsp. I 3 + (-4) I  ≤ |3 - (-4)|    = |3+4|

3. Fall x<0 und y≥ 0

II x I - I y II  = | -x - y| ≤ I x - y I.

4. Fall x<0 und y <0

II x I - I y II  = | -x+y| = |-(-x+y)|  = I x - y I.

qed.

Bem. beim 2. und 3. Fall ist mir die Ungleichung am Schluss klar mit Vektorpfeilen am Zahlenstrahl. Ein Beispiel als Begründung genügt nicht.

Man müsste das irgendwie noch klarer schreiben.

Habt ihr schon irgendwas bewiesen? Dann könnte man das voraussetzen und in diesem Beweis benutzen.

Comments

Bei b) darfst du wahrscheinlich benutzen, dass

|x|*|y| = |x*y|

Dann sind wieder Fallunterscheidungen nötig.

Vielleicht habt ihr bereits die sog. Dreiecksungleichung bewiesen. In dem Fall: bei Bedarf anwenden.

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Bei der 2. Aufgabe gibt es dann aber ziemlich viele Fälle oder? Man müsste ja dann alle Kombinationen durchgehen, ob die größer oder kleiner 0 sind. Ich käme da auf 12 Fälle, ist das richtig?

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Wenn niemand eine schlauere Idee hat, bleibt wahrsch. nichts anderes übrig.

Manchmal hilft bei Beträgen links auch quadrieren links und rechts. Das Ungleichheitszeichen bleibt gleichgerichtet, wenn zu Beginn die Terme links und rechts > 0 sind.