Vorzeichenwechsel bei Polstellen, wie finde ich das heraus?

Question

Und zwar geht um die Polstellen, wie finde ich dort den Vorzeichenwechsel heraus und wie gebe ich das dann im Koordinatensystem, bzw. im Graph an?

Ich verstehe wie ich die Polstellen herausfinde, sowie alles andere. Dafür verstehe ich aber nicht wie ich herausfinden soll, ob sich das Vorzeichen wechselt. Und wie ich das im Graphen veranschaulichen soll.

Z.b diese Aufgabe hier. Wie errechne ich hier den Polstellenwechsel? 

Unser Lehrer sagt wir sollen so eine "Linie" benutzen in der wir die Nullstellen sowie die Polstellen einzeichnen sollen. Das soll uns helfen. Mich verwirrt das aber noch mehr. (Bild angehängt) Die kleine 0 soll die Nullstelle darstellen, die Flaggen bzw. die Kissen die Polstellen. (Das sind die Nullstellen und Polstellen zu einer anderen Funktion).

Danke für alle Antworten!

Answer 1

Zunächst einmal sehe ich eine Gleichung bei der
wahrscheinlich das x ausgerechnet werden soll.

Rechte Seite :
Die Polstelle ist dann vorhanden falls
der Nenner null ist.
2 * ( x + 1 ) * ( x -5 )^2
Satz vom Nullprodukt
x + 1 = = 0
x = -1
( x -5 )^2 = 0
x = 5

Nullstellen der rechten Seite
Zähler = 0 bei
Satz vom Nullprodukt
x = -4
x = 2

Hier die Skizze ( wie vom Lehrer vorgeschlagen )

Man könnte Funktionswerte von
f ( -1.1 )
f ( 1.1 )
f ( 4.9 )
f ( 5.1 )
berechnen und dann sehen ob
ein Vorzeichenwechsel stattgefunden hat.

Comments

Hier der Graph

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Vielen, vielen Danke für die Erläuterung!

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Es geht einfacher

Wann findet ein Vorzeichenwechsel statt ?

Beispiel

x = 1
1.) 1 / ( x -1 )
Bei links- bzw. rechtsseitigem Grenzwert
1 / ( 0.9999 - 1 ) = - ∞
1 / ( 1.0001 - 1 ) = + ∞
ändert sich das Vorzeichen. Es findet ein
Vorzeichenwechsel statt.

2.) 1 / ( x - 1) ^2
Dadurch das ( x -1 ) ins Quadrat
erhoben wurde ist das Ergebnis stets
positiv.
Es findet kein Vorzeichenwechsel statt.

2 * ( x + 1 ) * ( x -5 )²

Bei der ersten Polstelle findet ein
Vorzeichenwechsel statt.
Bei der zweiten Polstelle findet kein
Vorzeichenwechsel statt.

Bei Bedarf weiterfragen.

Answer 2

Hallo HJ,

ein VZW an einer Polstelle liegt genau dann vor, wenn der zugehörige  Linearfaktor  (ggf. nach dem Kürzen des Bruchs) im Nenner in ungerader Potenz stehenbleibt.

Hier hat man also nur für  x = -1  einen Vorzeichenwechsel   [ Linearfaktor (x+1)¹ ]  

Gruß Wolfgang