Wie werden Polstellen berechnet?

Question

Aufgabe: Wie werden Polstellen berechnet? ist das das gleiche wie Definitionsmenge?

Problem/Ansatz:

Könnte man mir anhand diesem gebrochenrationaler Funktion zeigen wie die Polstellen berechnet werden?

x^2-2x+1 / x^2 -1

Comments

x²-2x+1 / x² -1 = \(\displaystyle x^2 - 2x + \frac{1}{x^2} - 1\)

Die Polstelle wäre bei \(x=0\), aber das meinst Du gar nicht - oder?

Answer 1

Hi,

die Definitionsmenge zu bestimmen, hilft bei der Polstellenbestimmung, ist aber nicht das gleiche.

Für die Polstelle schaust Du Dir erstmal den Nenner an und dessen Problemstellen. Also für welche Werte dieser 0 wird.

Das ist für x = -1 und x = 1 der Fall.

Damit hast Du schon zwei potentielle Polstellen. Allerdings könnten sich diese mit dem Zähler wegheben. Überprüfe also bspw durch einsetzen, ob sich die Nennernullstellen im Zähler auch als Nullstellen zu erkennen geben und deshalb kürzen lassen.

Du wirst sehen, dass x = 1 auch eine Zählernullstelle ist und sich deshalb mit dem Nenner kürzen lässt. Die einzige Polstelle liegt also bei x = -1 vor. Bei x = 1 liegt eine "hebbare Definitionslücke" vor. Im Graphen sieht das so aus:

~plot~ (x^2-2x+1) / (x^2 -1) ~plot~

Grüße

Answer 2

Hallo,

eine gebrochenrationale Funktion ist an den Stellen nicht definiert, an denen Ihr Nennerterm den Wert 0 annimmt. Dort besitzt sie Definitionslücken.

\(\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}=\frac{(x-1)^2}{(x-1)\cdot(x+1)}\)

Bei dieser Funktion sind das die Stellen x = 1 und x = -1.

Bei Definitionslücken wird unterschieden zwischen Polstellen und behebbaren Definitionslücken.

Betrachte das Verhalten der Funktion bei x = -1

Links von der Stelle geht der Graph gegen unendlich, rechts davon gegen - unendlich, je näher er der Definitionslücke kommt. Daher handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

x = 1 ist auch eine Nullstelle des Zählers und stellt daher eine behebbare Definitionslücke und dar und ist keine Polstelle.

Gruß, Silvia

Unknown: Latex korrigiert

Answer 3

Nullstellen des Nenners:

x^2-1= 0

x= +-1

x^2-2x+1 = (x-1)^2

Kürzen mit (x-1)

x= 1 ist eine hebbare Lücke. -> Pol bei x= -1

Answer 4

x²-2x+1 / x² -1

Da hast du bestimmt die Klammern "vergessen", die aber hier notwendig sind:

(x²-2x+1) / (x² -1)

Man kann Zähler und Nenner faktorisieren und dann kürzen:

[(x-1)·(x-1)] / [(x+1)·(x-1)] = (x-1) / (x+1)        (für alle x mit |x| ≠ 1)

Die zunächst gegebene Funktion ist natürlich an den beiden Stellen nicht definiert, wo ihr Nenner gleich Null ist, also  bei x=1 und bei x=-1 .

Der gekürzte Term  (x-1) / (x+1)  hat nur noch bei x=-1  eine Definitionslücke und ist an der anderen Stelle  x=1  definiert und stetig und hat dort den Wert  0 .

Die ursprüngliche Funktion hat natürlich zwei Definitionslücken, wovon die eine (bei x=1) aber eine "stetig behebbare" Definitionslücke ist. An der Stelle x=-1 liegt aber ein Pol mit Vorzeichenwechsel vor, was man durch genaue Betrachtung der einseitigen Grenzwerte

lim_(x↑-1) f(x)  und  lim_(x↓-1) f(x) im Detail nachweisen kann.

Answer 5

Im Zähler 2. Binom und im Nenner 3. Binom verwenden:

\( \frac{x^2-2x+1}{x^2-1}= \frac{(x-1)^2}{(x+1)*(x-1)}=\frac{(x-1)*(x-1)}{(x+1)*(x-1)}=\frac{x-1}{x+1} \)

Der Pol ist nun bei  \(Nenner =0\)   →   \(x=-1\)