Begründen, dass eine zum Ursprung symmetrische Funktion bei x=0 eine Wendestelle

Question

Ich weiß nicht we ich mathemtisch begründen soll

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Der Graph von y=x ist zum Ursprung symmetrisch.

Aber hat er dort einen Wendepunkt?

Answer 1

$$ f(-x)=-f(x)\\-f'(-x)=-f'(x)\\f''(-x)=-f''(x)\\\to f''(0)=-f''(0)\\\to f''(0)=0\\ $$

Den Spezialfall einer linearen Funktion muss man dann noch ausschließen.

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wie kamst du auf die 3. gleichung und gibt es eine etwas simplere erklärung

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Die erste Zeile wurde zwei mal abgeleitet. Man bekommt durch die Kettenregel links immer ein Minus beim ableiten hinzu.

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Sorry für nerven... wie wendet man beispielsweise die Kettenregel auf f(-x) an? Weil ich kann leider nicht funktionswerte wie f(x) oder f(-x)... ablieten

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y = f(-x)     | innere Funktion u = -x mit u' = -1

y = f(u)

y' = f ' (u) * u'  | Rücksubst.

y ' = f '(-x) * (-1) = - f ' (-x)

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Also die Ableitung von f(x) ist f'(x) ;) . Das ist ja letztendlich nur eine Bezeichnung für den Ableitungsterm.

Bei der Ableitung von f(-x) braucht man die Kettenregel, die innere Ableitung ist (-1) (weil innen -x steht) und die äußere Ableitung ist weiterhin f'(-x). Die gesamte Ableitung ist das Produkt der äußeren und inneren Ableitung.

Also ist [f(-x)]'=(-1)*f(-x)=-f(-x)

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Man erwartet hier irgendwie noch den Rest. Wie folgt denn jetzt, dass die Funktion im Nullpunkt einen Wendepunkt hat?

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Das ist doch hier schon dabei:

f''(-x)=-f''(x) 

zusammen mit "Den Spezialfall einer linearen Funktion muss man dann noch ausschließen."

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@ fakename : in der Aufgabenstellung geht es um Polynome (siehe tag und die andere Frage des Fragestellers), deshalb reicht das denke ich mal so aus

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Ich guck mir nie Tags an. Ich bin doch keine Verschlagwortmaschine. Ausserdem steht da (wie ich gerade sehe) sogar noch "Parabel" bei.

Jedenfalls ist bisher nur gezeigt, dass \(f''(0)=0\) sein muss. Irgendwas muss da jetzt noch kommen. Vielleicht aber auch nicht. Ich kenne mich mit dem heutigen Schulniveau nicht recht aus.

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f''(-x)=-f''(x)  

impliziert, dass bei x=0 ein Übergang von Rechts- auf Linkskurve (oder umgekehrt) stattfindet, falls es wie angenommen um ein Polynom geht. 

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Den Rest der Begründung habe ich weggelassen in der Hoffnung, dass der Fragesteller

sich noch ein wenig erinnert.

https://www.mathelounge.de/471695/begrunden-ganzrationale-funktion-ungeradem-wendestelle

Da die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung  ist, sind alle auftretenden Potenzen ungerade.

Und damit ist die zweite Ableitung ebenfalls ungerade, mit Vorzeichenwechsel bei x=0.

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Kann man das ganze einfacher begründen, klar mit Kettenregel gehts auch aber gibt es eine simplere Begründung... in einem Satz oder so : D   (schonmal vielen Dank an euch)

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Hallo beniss,

du musst erst einmal ganz genau sagen / schreiben, was die Behauptung ist. Wie du festgestellt haben könntest, ist die Behauptung in der Überschrift eigentlich falsch.

Kettenregel sollte kein Problem sein in einem Beweis, bei dem es sich um Polynome von Grad > 1 handelt.

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Behründen Sie, dass eine zum Ursprung symmetrische ganzrationale Funktion bei x=0 eine Wendestelle hat

Answer 2

Die Funktionen $$f_n(x)=\begin{cases}0&\text{fuer $x=0$}\\ x^{2n}\sin(1/x)&\text{fuer $x\ne0$}\end{cases}$$ sind alle ungerade. Es verschwinden sogar die ersten \(2n-1\) Ableitungen an der Stelle \(x=0\). Aber keine der Funktionen hat einen Wendepunkt an der Stelle \(x=0\).

Die Behauptung ist also voellig falsch.

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In den Tags steht Polynom. Vielleicht ist das Teil der Aufgabenstellung. Wenn nicht, --> deine Antwort oder schlicht y = 1/x , wobei mein Gegenbeispiel in x=0 nicht definiert ist.