Ableitung von e-funktionen

Question

ich habe folgende Funktion:

g(x) = (x^2-1) * e^{-0.5x}

ich habe hier die produktregel angewandt:

2*x*e^{-0,5x}+x^2-1 ( -1/2*e^{-0,5x})

kann ich hier irgendwas ausklammern?

die e^{-1/2x} oder nicht?

Answer 1

Hi,

Du hast eine Klammer vergessen. Muss eher so aussehen:

g(x) = (x^2-1) * e^{-0,5x}

g'(x) = 2x*e^{-0,5x}  +  (x^2-1)*(-0,5)*e^{-0,5x} = e^{-0,5x} * (2x+(x^2-1)*(-0,5)) = e^{-0,5x} * (-0,5x^2+2x+0,5)

Grüße

Comments

wäre die in der 2.Ableitung vom 1.Summanden die Ableitung: e^-0,5x*(-1/2x^2-3/2) ?

---

Ne, das passt nicht.

Am besten alles als drei Summanden schreiben oder direkt wieder Produkt und Kettenregel verwenden.

g'(x) = e^-0,5x * (-0,5x²+2x+0,5)

g''(x) = e^{-0,5x} * (-x+2) + (-0,5)*e^{-0,5x}*(-0,5x^2+2x+0,5)

Und das muss/kann man halt noch zusammenfassen ;).

---

was meinst du mit "am besten alles als drei summanden schreiben"?

---

Wenn man mit der Produktregel Probleme hat, bietet es sich eventuell an umzuschreiben:

e^-0,5x * (-0,5x²+2x+0,5) = e^-0,5x * (-0,5x²) + e^-0,5x*2x + e^-0,5x*0,5

Mit "am besten" meinte ich aber eine der Varianten. Nicht unbedingt diese :P. Ist zwar eventuell übersichtlicher, aber auch deutlich aufwändiger.

---

also beim ersten Summanden wäre u= -0.5x^2, u'= -x

v=e^{-0.5x} , v'= -1/2* e^{-0.5x}

erhalte da e^{-0.5x} * (-1/2x^2 -1+0,5)

= e^{-0.5x} * (-1/2x^2 - 0,5)

---

Also die ersten beiden Zeilen stimmen. Dann wird es unübersichtlich. Warum hast Du plötzlich 3 Summanden? Wo ist das u' = -x? Wo kommt -1 und wo kommt 0,5 her?

---

-x*e^{-0.5x} -0.5x^2* (-1/2)*e^{-0.5x}

e^-0.5x * (-1/4x^2 -x)

So?

---

Genau ;).

e^-0.5x * (-x-0,5x²*(-1/2))

Die Klammer fehlt noch, aber sonst passts.

---

kann man eigentlich -1/2 x^2 * (-1/2) * e^{-0,5x}

zusammenfassen zu: 1/4x^2 und e^{-0,5x} ausklammern

also e^-0.5x * (1/4x² -x)

---

Es ist -1/2*(-1/2) = +1/4 = 1/4,

aber ja, das kann man (sollte man sogar) machen :).