Dreieck mit Ecken auf Parabel maximieren

Question

folgende Aufgabe könnte ich auch selber lösen. Ich brauche das ganze aber 'öffentlich' im I-Net, da ein Freund von mir die Antwort für seinen Mathe-Unterricht benötigt.

Es seien zwei Punkte \(A\) und \(B\) auf einer Parabel \(y=x^2\) gegeben. Es ist ein dritter Punkt \(C\) auf der Parabel gesucht, dessen X-Koordinate sich im Intervall \((a_x .. b_x)\) befindet und der so liegt, dass die Fläche des Dreiecks \(ABC\) ein lokales Maximum hat.

Tobt Euch aus ;-) ... umso mehr unterschiedliche Lösungen, desto besser.

Gruß Werner

Comments

Ich werde die Antworten noch kommentieren und die Rechenwege ausführen. Damit ich die Bezeichner nicht jedes mal neu hinschreiben muss - hier die Definitionen:

Die Koordinaten von \(A\) seien \((a_x;a_y)\), die von \(B\) \((b_x;b_y)\) und \(C\) entsprechend \((c_x;c_y)\) mit \(c_y=f(c_x)={c_x}^2\)

Außerdem führe ich noch die Größe \(m\) ein - mit

$$m=\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x}$$

was im Falle von \(b_x > a_x\) der Steigung der Geraden durch \(A\) und \(B\) entspricht.

Alles weitere folgt als Kommentar hinter der jeweiligen Antwort.

Answer 1

Hallo Werner,

falls dies der Sachverhalt ist.

Bestimme die Steigung der Geraden AB.
Setze in die erste Ableitung f ´( x ) = 2x
2x = m (AB) ein.
xc ist die Stelle mit dem größten Abstand von AB
und damit ist das Dreieck ABC mit dem
größten Flächeninhalt gefunden.

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Deine Frage / Antwort und den Stern von dir werde ich
ausschneiden und mir überm Bett aufhängen. ;-)

PS. Die Frage hatten wir im Forum schon
einmal.

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Wenn wir die Frage schon hatten, hast Du einen Link?

Meinst Du dies: https://www.mathelounge.de/404239/extremwertaufgabe-dreieck-unter-einer-parabel ?

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Ja. Fülltext.

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Ja - und die Lösung von Georg ist IMHO die eleganteste. Es ist offensichtlich, dass ein Punkt \(C\) auf der Parabel, sich nicht mehr weiter von der Geraden durch \(AB\) entfernen lässt, wenn er im Berührpunkt der Tangenten liegt, die die gleiche Steigung \(m\) wie die die Gerade durch \(AB\) hat.

Ableiten der Funktion der Parabel ist

$$y'=2x$$

Mit der Bedingung, dass \(y'=m\) für das optimale \(C\) ist - erhält man

$$y'(c_x) = m = 2 c_x$$

Und daraus folgt natürlich

$$c_x= \frac{m}{2} = \frac{b_y - a_y}{2(b_x - a_x)} = \frac{b_x^2 - a_x^2}{2(b_x - a_x)}\\\phantom{c_x}=\frac{(b_x-a_x)(b_x+a_x)}{2(b_x - a_x)} = \frac{1}{2}(b_x+a_x)$$

Answer 2

Hier findest du eine Formel, wie es mit Vektoren geht:

https://de.serlo.org/mathe/geometrie/dreiecke-vierecke-kreise-andere-ebene-figuren/dreieck/dreiecksflaeche-berechnen/dreiecksflaeche-koordinatensystem

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Diese Lösung war die erste, die mir in den Sinn kam, als ich die Aufgabe sah. Die Fläche \(F\) des Dreiecks lässt sich unmittelbar aus dem Kreuzprodukt (bzw. der Determinante) berechnen. Es ist:

$$F= \frac{1}{2} \vec{AC} \times \vec{AB}$$

Der Vektor \(\vec{AB}\) sei ein Vielfaches von \((1;m)\) - also $$\vec{AB}=\begin{pmatrix} k \\ k \cdot m\end{pmatrix}$$

Dann ergibt sich

$$F = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} c_x - a_x\\ {c_x}^2 - a_y\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} k \\ k \cdot m\end{pmatrix} \right)$$

$$\space = \frac{1}{2} \left(  ( c_x - a_x)km - ({c_x}^2 - a_y)k \right)$$

Das kann man schon nach \(c_x\) ableiten

$$\frac{\partial F}{\partial c_x} = \frac{k}{2}(m - 2c_x) \quad \rightarrow 0$$

Daraus folgt dann

$$c_x=\frac{m}{2}= \frac{b_y - a_y}{2(b_x - a_x)}$$

Answer 3

Die Punkte sind A(a|a²), B(b|b²) und C(c|c²). Bestimme den Betrag g des Vektors von A nach B und den Abstand h des Punktes C von der Geraden AB. Dann ist die Fläche F des Dreiecks ABC: F=g·h/2. Damit daraus eine Funktionsgleichung wird, müsste geklärt werden,was bekannt und was unbekannt ist. 

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Ich zitiere: "Es seien zwei Punkte \(A\) und \(B\) auf einer Parabel \(y=x^2\) gegeben" Die Koordinaten von \(A\) und \(B\) sind gegeben. \(C\) ist gesucht. Alle Punkte liegen auf der Parabel.

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Der Betrag der Strecke \(AB\) ist gegeben und daher konstant und spielt folglich für den Lösungsweg keine Rolle. Es reicht aus die Höhe \(h_c\) - d.h. den Abstand des Punktes \(C\) von der Geraden \(g\) durch \(A\) und \(B\) zu maximieren.

Dazu bestimme ich die Geradengleichung in der Normalform. Aus folgender Überlegung ..

.. folgt, dass ein Normalenvektor \(\vec{n}\) der Geraden

$$\vec{n} = \begin{pmatrix} -m\\ 1 \end{pmatrix}$$

ist. Damit und mit dem Punk \(A\) stelle ich die Normalengleichung auf:

$$g: \space \vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \begin{pmatrix} a_x\\ a_y \end{pmatrix}=-m \cdot a_x + a_y$$

Ein Maß \(h^*\) für den Abstand eines Punktes \(C\) (mit Ortsvektor \(\vec{c}\)) ist

$$h^* = \vec{n} \cdot \vec{c} + m \cdot a_x - a_y$$

Wohlgemerkt ist \(h^*\) nicht direkt der Abstand von \(C\) von \(g\), da ich \(\vec{n}\) nicht normiert habe, aber es ist ein Vielfaches des Abstands und es reicht daher aus, diesen Wert zu maximieren. Einsetzten der Koordinaten von \(C\) ergibt dann:

$$h^*(c_x) = -m\cdot c_x + {c_x}^2 + m \cdot a_x - a_y$$

und ableiten nach \(c_x\)

$$\frac{\partial h^*}{\partial c_x} = -m + 2c_x \quad \rightarrow 0$$

Und das Ergebnis ist dann

$$c_x = \frac{m}{2}= \frac{b_y - a_y}{2(b_x - a_x)}$$

Answer 4

eine weitere Möglichkeit mit Vektoren:

Berechne das Kreuzprodukt aus CA und CB . Der Betrag davon ist dann zu maximieren.

Comments

Danke für die Antwort - ist aber im Kern identisch mit der Antwort von Gast2016.

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Oh ich hab aufgehört den Link weiterzuverfolgen als ich da "Artikel in Arbeit" gelesen habe :D