Reflektierter Lichtstrahl fällt auf Reagenzglas

Question

Aufgabe:

In einem Labor wird die Wirkung von Laserstrahlen auf eine schleimige Substanz untersucht. Im Punkt P(7|5|15) befindet sich ein Laserstrahler, der in Richtung

\( \begin{pmatrix} 4\\2\\1 \end{pmatrix} \)

strahlt und auf einen Spiegel trifft, der in der Ebene E liegt mit:

\( E: 3 x_{1}+2 x_{2}+5 x_{3}=30 \)

Ein mit der schleimigen Substanz gefülltes Reagenzglas befindet sich im Punkt \( R(-3|5| 0) \).

(a) Stelle eine Gleichung der Gerade auf, in welcher der Laserstrahl verläuft, bevor er auf den Spiegel trifft. Bestimme zudem den Winkel, in welchem der Laserstrahl auf den
Spiegel trifft.

(b) Bestimme die Gerade f, in welcher der reflektierte Lichtstrahl liegt und prüfe, ob der reflektierte Laserstrahl das Reagenzglas trifft.

Answer 1

a) Die Gerade g hat die Gleichung

$$  \vec{ x }=\begin{pmatrix} 7\\5\\15 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 4\\2\\1 \end{pmatrix} $$

Winkel zwischen Normalenvektor  n von E und Richtungsvektor u von g ist alpha mit

cos(alpha) = ( n*u) / ( |n|*|u| ) = 21 / ( √38 * √21 ) = 0,7434

alpha =  42°

Also Winkel zwischen Strahl und Spiegel 48°.

Der reflektierte Strahl g '  geht durch den Schnittpunkt S von g und E und

verläuft so, dass n die Richtung der Winkelhalbierenden zwischen u und

u '  hat, wenn man mit u auf S zugeht und mit u ' von S Richtung Reagenzglas geht.

Also brauchen wir erstmal S:

3(7+4t)+2*(5+2t)+5*(15+t)=30

t= -76/21 also  S( -157/21    ;   47/21    ;   239/21 )

Jetzt den Vektor von S zum Reagenzglas:

u ' =  - ( -157/21    ;   -47/21    ;   239/21 )  + ( -3 ; 5 ; 0 )

        =  ( -220/21   ;  -152/21 ; 239/21 )

Wenn jetzt der Winkel zwischen u ' und n auch etwa 42° ist,

müsste es stimmen.

Comments

Wie viele Geraden gibt es die durch den Spiegelpunkt S gehen und einen Winkel von 48 Grad mit dem Spiegel bilden ?

Wie viele dieser geraden sind genau die Spiegelgerade?

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Sagen wir mal: Die, die mit dem Lot und der anfänglichen Geraden in

einer Ebene liegen. Das müsste man dann wohl auch noch

prüfen.  Da die Zahlen aber so krumm sind, hatte ich das

 Gefühl mich vielleicht auch (wieder mal) verrechnet zu haben.

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Sich mit einer recht unleserlichen Antwort auseinanderzusetzen ist schwieriger als selber kurz eine zu basteln.

Meist führen ja mehrere Wege zum Ziel. Es ist manchmal hilfreich für das Verständnis sich vielleicht einen anderen Weg zu überlegen.

Wenn man dann erstmal einen Weg verstanden hat setzt mal sich nochmals an eine andere Lösung und kann die dann auch meist einfacher verstehen.

Answer 2

Du spiegelst ja den Anfangspunkt an der Ebene

b)

Gespiegelter Anfangspunkt

x = [7, 5, 15] + r·[3, 2, 5] = [3·r + 7, 2·r + 5, 5·r + 15]

3·(3·r + 7) + 2·(2·r + 5) + 5·(5·r + 15) = 30 --> r = -2

P = [7, 5, 15] - 4·[3, 2, 5] = [-5, -3, -5]

Punkt in dem der Laserstrahl auf den Spiegel trifft

g: x = [7, 5, 15] + r·[4, 2, 1] = [4·r + 7, 2·r + 5, r + 15]

3·(4·r + 7) + 2·(2·r + 5) + 5·(r + 15) = 30 --> r = -76/21

Q = [7, 5, 15] - 76/21·[4, 2, 1] = [- 157/21, - 47/21, 239/21]

Stelle eine Gerade durch P und Q auf

x = [-5, -3, -5] + r·([- 157/21, - 47/21, 239/21] - [-5, -3, -5])

x = [-5, -3, -5] + r·[- 52/21, 16/21, 344/21]

Natürlich kann man den Richtungsvektor auf ganzzahlige Werte bringen indem man ihn mit 21/4 multipliziert.

x = [-5, -3, -5] + r·[-13, 4, 86]

Comments

Aber was hat das mit reflektieren zu tun, also die gerade von p und q.

Reflektieren heißt ja abprallen?

Und was genau ist q bei deiner Lösung?

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Das steht doch darüber.

Punkt in dem der Laserstrahl auf den Spiegel trifft 

Q = [7, 5, 15] - 76/21·[4, 2, 1] = [- 157/21, - 47/21, 239/21]

Der Laser feuert auf den Spiegel Photonen ab und diese prallen im Spiegelpunkt Q vom Spiegel ab.

Man kann aber auch so tun als wenn wir unsere Laserkanone an der Spiegeloberfläche spiegeln und von hinter dem Spiegel Photonen durch den Spiegelpunk Q schießen.

Letzteres hat den Vorteil, dass wir zwei Punkte unserer Geraden leicht ermitteln können und so leicht die Gerade der reflektierten Photonen ermitteln können.

Skizziere dir mal einen Spiegel, den Laser, den gespiegelten Laser und die Bahnen der Photonen.