Waldgebiet Bewirtschaftung, Anzahl geschlagene Bäume. Wann (Jahr und Monat) wurden die meisten Bäume geschlagen?

Question

Ein großes Waldgebiet wird bewirtschaftet. die Anzahl der geschlagene Bäume kann annähernd durch eine ganzrationale Funktion 3. grades beschrieben werden. Dabei gilt x die seit Bewirtschaftungsbeginn vergangene Zeit in Jahren und f(x) die Anzahl der geschlagenen Bäume zwischen dem Vorjahreszeitpunkt und dem Zeitpunkt x an.

Folgende Daten sind bekannt:

Anfang Januar 1981 begann die Bewirtschaftung. Im Jahr 1982 wurden 3.360 Bäume geschlagen. Ende 2010 hörte die Bewirtschaftung auf, es wurden keine Bäume mehrgeschlagen. Der größte Zuwachs an geschlagenen Bäumen war Ende August 1987.

1) Ermittle die Parameter a, b, c, und d, der ganzrationalen Funktion.

2) Wann (Jahr und Monat) wurden die meisten Bäume geschlagen?

3) Wie viele Bäume wurden zu diesem Zeitpunkt geschlagen?

4) Wie groß war der größte Anstieg an geschlagenen Bäumen pro Jahr?

5) Erstelle eine Funktionsskizze und kennzeichne den sinnvollen Definitionsbereich sowie den sich daraus ergebenden Wertebereich der Funktion.

Answer 1

Wir setzen das Jahr 1980 als x=0 und das Jahr 2011 als x=31. Damit sind zwei Nullstellen der ganzrationalen Funktion f gegeben. Ansatz f(x)=a(x-b)x(x-31).1981 ist x=1 und f(x)=3360.also setzen wir (1|3360) in den Ansatz ein und erhalten a=112/(b-1) und dann f(x)=112/(b-1)(x-b)x(x-31). Der Wendepunkt ist ebenfalls (1|3360). Die Nullstelle der zweiten Ableitung ist x=(b+31)/3und hier ist x=1, folglich b=- 28.Die Funktionsgleichung lautet also f(x)= - 112/29(x+28)x(x-31).

Comments

habe die Aufgabe doch richtig verstanden.. auch meiner Meinung nach ist die zweite Nullstelle bei 31!

Answer 2

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

f(0)=0

f(1) = 3360

f(30) = 0

f '(16 2/3) = 0

b) f '(x) = 0

c) f(xM) = ? xM ist die x-Stelle aus b)

d) f ''(x) = 0 (wendepunkt ermitteln)

Comments

Mit 1.1.1981 als Zeitnullpunkt und x in Jahren lautet die Funktionsgleichung
f(x) = 30x^2·(30-x) mit D_f = [0 ; 30] .

Ob sich 2) beantworten lässt wage ich zu bezweifeln.

Da das Fällen eines Baumes immer innerhalb eines gewissen Zeitraumes erfolgt, ist die Antwort zu 3) : Zu einem Zeitpunkt wurden 0 Bäume geschlagen.

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Ich korrigiere meine oben geäußerte Ansicht :

In keinem Monat wurden mehr Bäume gefällt als im Juli 2000, nämlich 10012 Stück.